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基于模糊数学理论的寿险产品模糊定价模型研究

时间:2020-08-08来源:硕士论文

如今经济水平不断提升,各国纷纷把目光聚焦到保险业上,其中与绝大部分人利 益相关的人寿保险尤为受到瞩目。而在人寿保险的领域,最核心的话题始终围绕如何 对产品进行可靠有效的定价。由于市场上利率的不确定性,而传统的固定利率和随机 利率模型的假设过于理想化不能切实的反映市场,故而引入能有效兼顾各方面信息的 模糊数学理论来进行利率估计和寿险精算。因为估计的利率结果可以是一个确定的值, 可以是区间,还可以是模糊数,相比传统的利率确定方法更具优越性,可以有效的规 避由于缺失市场信息和影响因素不确定带来的风险。 在现实生活中,保险人出具的每份寿险保单中的利率都是随着市场的变化而不断 变化,因此利率表现出不确定的随机性,从而保单上的各项理赔费用也都承担着相应 的利率风险,这些都给我们的寿险精算带来困难。本文中提出以线性回归的方式来探 讨利率估计的改进方向,估计出模糊利率并运用到寿险精算中。因此本文在模糊利率 下,进行了相应的研究。一是构建了模糊利率下的崑缴纯保费模型,二是构建了模糊 利率下的净准备金模型,三是假定数值分析模糊利率,并给出模糊利率下寿险精算模 型在实值上的应用,得出了模糊模型中参数/在保险人决策时的重要作用
摘要
如今经济水平不断提升,各国纷纷把目光聚焦到保险业上,其中与绝大部分人利 益相关的人寿保险尤为受到瞩目。而在人寿保险的领域,最核心的话题始终围绕如何 对产品进行可靠有效的定价。由于市场上利率的不确定性,而传统的固定利率和随机 利率模型的假设过于理想化不能切实的反映市场,故而引入能有效兼顾各方面信息的 模糊数学理论来进行利率估计和寿险精算。因为估计的利率结果可以是一个确定的值, 可以是区间,还可以是模糊数,相比传统的利率确定方法更具优越性,可以有效的规 避由于缺失市场信息和影响因素不确定带来的风险。
在现实生活中,保险人出具的每份寿险保单中的利率都是随着市场的变化而不断 变化,因此利率表现出不确定的随机性,从而保单上的各项理赔费用也都承担着相应 的利率风险,这些都给我们的寿险精算带来困难。本文中提出以线性回归的方式来探 讨利率估计的改进方向,估计出模糊利率并运用到寿险精算中。因此本文在模糊利率 下,进行了相应的研究。一是构建了模糊利率下的崑缴纯保费模型,二是构建了模糊 利率下的净准备金模型,三是假定数值分析模糊利率,并给出模糊利率下寿险精算模 型在实值上的应用,得出了模糊模型中参数/在保险人决策时的重要作用。
关键词:模糊数学;寿险产品;模糊定价模型
Fuzzy Pricing Model of Life Insurance Products based on Fuzzy
Mathematics Theory
Abstract
Nowadays, the economic level is constantly improving, and countries have focused their attention on the insurance industry. Among them, life insurance, which is of great interest to most people, has attracted particular attention. In the field of life insurance, the core topic is always about how to reliably and effectively price products. Due to the uncertainty of interest rates in the market, the assumptions of the traditional fixed-rate and stochastic interest rate models are too idealistic to reflect the market. Therefore, fuzzy mathematics theory that can effectively balance all aspects of information is introduced to conduct interest rate estimation and life insurance actuarial calculation. Because the estimated interest rate result can be a certain value, it can be a range, or it can be a fuzzy number. Compared with the traditional method of determining the interest rate, it can effectively avoid the uncertainty caused by the lack of market information and influencing factors, risk.
In real life, the interest rates in each life insurance policy issued by the insurer are constantly changing with the changes in the market. It is precisely because of the uncertainty of interest rates that the various claims costs on the policy also bear the corresponding interest rates. Risks, these all bring difficulties to life insurance actuarial. This paper proposes to explore the improvement direction of interest rate estimation by means of linear regression, and estimate the fuzzy interest rate and apply it to life insurance actuarial. The life insurance actuarial analysis under the fuzzy interest rate can better meet the actual needs of the insurer. The first is to construct a model of pure premiums under the fuzzy interest rate. The second is to construct a life insurance actuarial model under the fuzzy interest rate. The third is to numerically analyze the fuzzy interest rate, and give the application of the life insurance actuarial model under fuzzy interest rate in real value, and obtain the important role of the parameter aA* in the fuzzy model in the decision of the insurer.
Key Words: fuzzy mathematics; life insurance; fuzzy pricing model
第]章绪论 1
1.1研究背景与意义 1
1.1.1研究背景 1
1.1.2 研究意义 1
1.2国内外研究综述 2
1.2. 1 国外研究现状 2
1.2.2国内研究现状 3
1.3研究内容与研究方法 4
1.4本文的创新点与不足 5
第2章相关理论准备 6
2.1 模糊数学理论的相关基础 6
2.1. 1 模糊数学的定义 6
2. 1.2 模糊数的运算 7
2. 1. 3 模糊数的主要类型 7
2.2寿险精算的相关理论基础 9
第3章 模糊利率的确定 11
3.1 模糊利率相关基本概念 11
3.2模糊利率模型 12
第4章模糊利率下寿险精算模型 14
4.1模糊利率下楚缴纯保费模型 14
4.1.1楚缴纯保费的概念 14
4.1.2模糊楚缴纯保费的概念及计算 16
4. 1. 3 模糊利率下楚缴纯保费模型的建立与求解 17
4.2模糊利率下净准备金模型 18
4. 2. 1 净准备金的概念 18
4. 2. 2 准备金的基本评估方法 19
4.2.3 模糊利率下的净准备金建模与求解 22
第5章数值实例分析 23
5. 1 模糊利率数值分析 23
5.2实证分析 26
5.2. 1 模糊利率下楚缴纯保费模型的实证分析 27
5. 2.2 模糊利率下净准备金模型的实证分析 30
第6章结论与展望 34
参考文献 35
卩付录 38
致谢 40
第1章绪论
1. 1研究背景与意义
伴随着我国市场经济的不断发展,利用固定利率确定各模型已经不再适用,而利 用随机利率来进行研究又常常受到各种社会事件的影响,带来自身的模糊性。基于模 糊数学理论的不断深入,此类涉及模糊数据的问题也能得到较好的解决。因此,在当 前模糊数学理论蓬勃发展的环境下,在寿险定价模型中引入模糊利率或将能更好的兼 顾相关影响因素带来的波动,从而满足市场的需要。
1.1.1研究背景
众所周知,在保险的相关研究中,最受关注的是如何定价,因为价格也最易被市 场用来做为衡量指标的信息。因此,在对保险进行研究的时候,往往从如何建立可靠 的定价模型来展开。前人学者对这个问题已经展开了一系列的研究,采用了诸如资本 定价模型、多因素模型、贴现现金流模型等来进行定价,也存在研究学者结合上述模 型并提出一定改进方法来完善模型,使之更契合保险定价规律。
保险产品的保费往往在投保初始年缴纳,但是保险金给付的时间就要延后很多, 通常在这之间的时间能长达数十年。而在这么长的时间跨度,市场的变化是莫测的, 保险公司需要在给出保费的初始年就考虑兼顾这数十年的市场可能的变化,将未来市 场变化带来的影响包含进保费里,对人口结构、供需关系、利率等因素作出准确的判 断,避免相应风险发生带来的损失。也只有这样,才能保证保险公司未来持续可靠的 经营下去。在保险公司中,有精算人员对这些指标和因素进行相应的分析和判断,并 据此来估计推断未来的数据情况,故而保险定价问题离不开对底层数据的统计分析。 除了人口结构、供需关系、利率等因素会对保险定价带来影响,一些市场体系的更改、 国家政策等变动、甚至是消费者自身道德素质水平也会影响到保险定价,可以说这些 带来的影响也应当被反映在了价格中。但是这些影响却不便于用简单的数据进行统计 分析,给我们的保险定价带来难度。因此,如何能够系统的在定价模型中反映数据信 息和非数据信息成为研究的方向,而对于模糊数学理论研究的不断深入,让这种研究 方向成为可能。
在此背景下,本文希望通过模糊利率变量研究当前寿险市场上的寿险精算模型。
1. 1・2研究意义
从理论层面来看,目前关于模糊数学理论在保险产品定价中应用的研究成果己经 有一些,并且得到了部分针对保险产品的模糊定价模型,但这些理论成果往往没有充 分考虑保险利率不确定性因素所产生的风险。本文基于前人学者的研究,提出一种更 加完善的寿险产品模糊定价模型,能够对相关理论做适当补充。同时,也可以为其他 研究者针对此问题做进一步探讨提供一定的理论基础。因此具备较强的理论意义。
从实现层面来看,在寿险领域,定价是最能被参与者接受的信息,也直接关系到 保险公司未来能否进行可靠持续的经营。同样定价也是精算师可以进行的主要工作之 -O对寿险产品的定价,是需要兼顾多方面多类型的信息,其方法是在不断创新和进 步的。当前经济环境下,市场竞争加剧,保险公司面临的压力与日俱增,如何满足客 户多样的需求,应对纷繁复杂的市场环境成为保险公司营运的主要目标。为了满足需 求,保险公司尝试在保单合同中增加多样化的选择条款,开辟形式丰富多样的险种。 例如分红险、现金价值险、变额年金险,这些新型险种不单单价格高低不同,也附带 不同可供选择的个性化设计,比如规定的推出保险的最短时间、保障的相应收益等。 正是因为这些保单在细节上更加复杂多变,随之而来的风险也大大增加。故而,如何 兼顾这些信息,平衡各方要素,规避风险成为当前研究的重点,也是在寿险精算中最 受瞩目的方法。
因此,本文将结合保险公司对寿险产品定价的实际需求提出一种更加合理的模糊 定价模型,能够帮助保险公司实现最优的保费制定,从而降低运营风险,有非常高的 现实意义。
1.2国内外研究综述
寿险定价面临着诸多问题,如何更好地对寿险进行定价,兼顾多种不确定事件给 出具有理论依据的定价模型,成为学界关注的焦点。在寿险定价过程中引入模糊数学 理论不失为一种好的解决方案,对这方面的研究,也从多个角度不断地深入,大致涉 及以下几个方面:
1.2. 1国外研究现状
最早在19世纪中期,ZadehCl]第一个提出了模糊数学理论。至此,模糊数学理 论第一次步入学术研究界的视线,受到瞩目。由于模糊数学理论有别于一般传统数学 集合理论的优越性,其在集合内部的各元素所属关系是模糊的没有明确的边界划分, 不那么泾渭分明,可以很好的去衡量一些不确定事件的预测,因此被大量用于算法和 预测研究。模糊数学理论的一个重要特征是它简化了涉及不确定或语言定义的预测问 题,该特征能将模糊标签与人工概括的信息进行对应,并运用模糊处理手段,通过一 系列运算获得可靠的基础数据。
模糊数学在保险领域的应用要追溯到19世纪80年代初期,DeWit[2]创新性的 尝试在保险定价中运用模糊数学理论来描述变量。随后,多名研究者纷纷展开研究, 其中Boissonnade[3]在对地震保险保费展开研究的过程中,融合了模糊数学来识别 相应的模式。Buckley[4]在1987年对模糊利率的相关应用展开研究,得出来了关于 模糊利率下的期望和现值的公式,并运用到年金的相关分析研究中去。到了 20世纪 90年代,在Buckley的研究上,J. Lemaire[5]进一步扩展,具体将模糊数学运用到 建立单纯养老保险的保费模型上,并取得了一定进展。接下来,Ostaszewski [6]在 J. Lemaire的单纯养老保险的模糊保费模型上进一步创新,采用模糊利率来更深入的 加强模糊属性,使之更好的满足需求,Ostaszewski对模糊利率下的净保费问题,结 合模糊数学在保险精算中的运用,得出一定结论。至此,模糊数学理论对保险精算的 助益得到广泛的认可,更多的研究学者深入其中,探究其奥秘。在保险给付损失预测 上,J. Cummins和Derrig[7]结合模糊数学理论做了一定的工作。在对风险类型的识 别上,Young⑻以及Derrig和0staszewski⑼做了相应的结合。Young[10]在自身 研究之上,又把相关经验运用到用模糊数学进行保险定价上,完善自身的研究。Ebanks, Kanvowki和Ostaszewski [11]三人提出了运用模糊数学理论进行推理和计量,并把模 糊计量用在保险面临的风险类型的识别上。Carreno和Jani[12]为实现改良寿险风 险判断机制,把利用模糊数学理论开发了一个专业的识别系统。类似的,运用相似理 念建立的关于寿险费用设计的系统由Hellman[13]提岀。Jablonowski [14, 15]也采用 模糊数学理论来描述风险的不确定性,处理了相关模糊变量。
1. 2. 2国内研究现状
国内学者在此领域研究的方法及思路与国外学者大致相似,在目前的常用传统模 型中,加入模糊数学的理念,整合成新的定价模型,求解出相应的表达式。
樊婷婷,吴穹(2003) [16]学习了 Cummins和Derrig的研究方法,运用模糊数 学理论,优化了传统的寿险定价模型,建立模糊定价模型。郑文瑞、吴丹阳和方红(2006) [17]将模糊随机方法用到地震灾害的风险评估当中,即把模糊概念运用到风险概率上, 建立模糊随机风险模型。龙玉国(2006) [18]在前人研究的基础上,从整体评估的角 度,运用模糊数学对保险公司进行整体风险评估。类似地,孙伟[19]也运用模糊数学 的评估方法,对不同保险公司的综合竞争力进行评估并排名。张守霞(2010) [20]对 模糊数学理论又有新的运用,她对传统保险定价模型进行拆解,并引入模糊化的性质, 最后进行了实例论证。高井贵,赵明清(2010) [21]分析了传统贴现现金流模型的模 糊化改进方法,在面对数据不全,信息缺失的环境下,较好的表现定价情况,规避一 定的风险。模糊数学中,有一块涉及如何进行模糊排序和评价的内容,王波,史安娜 (2006) [22]就在这一块深入探究,并运用到前期的保险产品的研发过程中,并建立 了一个模型用来判断。李加明,葛春瞳(2016) [23]同样采用模糊评估的方法来判断 预警值。周启清(2015) [24]也将模糊评估的方法运用到车险这一风险的评判中。姚 嘉棋(2015) [25]则独独选用了梯形模糊函数来描述利率,并利用线性回归对梯形模 糊变量进行估计。
从国内外相关文献中可以看出,目前关于模糊数学理论在保险产品定价中应用的 研究成果己经有一些,并且得到了部分针对保险产品的模糊定价模型,这可以为本文 的研究提供一定的理论基础作为支撑。但这些研究成果往往没有顾及保险利率难以确 定所暗含的风险,因此造成定价模型的有效性尚待商榷。在这种情况下,本文希望在 前人研究基础之上,提出一种更加完善的寿险产品模糊定价模型,从而对相关理论做 适当补充。
1. 3研究内容与研究方法
本文在寿险精算的模型中,采用模糊数学理论来描述变量利率,把模糊利率运用 到经典模型中,使之具有模糊性质,得到关于模糊利率下楚缴纯保费及净准备金的模 型,运用模糊数理论,借助模糊线形模型,与三角形模糊数、必截集的情况以及死亡 率来估计模糊利率。运用估计出的模糊利率,计算寿险产品模糊利率下的精算模型。 再比较不同必水平,模糊利率下的净准备金模型的情况。
第1章绪论较为详细的罗列了前人学者关于在寿险定价领域运用模糊数学理论进 行研究的情况,指出其在寿险精算领域的重要作用。
第2章介绍了本文涉及的一些预备知识,包括模糊数学的相关理论概述和寿险精 算的相关理论概述;
第3章建立寿险产品的模糊利率模型;
第4章建立模糊利率下楚缴纯保费以及净准备金的模型;
第5章实证分析模糊利率模型以及给定条件的模糊利率下的寿险精算模型求解, 涉及楚缴纯保费以及净准备金的模型在不同必水平下的比较;
第6章回顾了本文所研究的具体工作,指出在寿险精算领域引入模糊数学理论的 优势,运用数值实例对模糊随机利率下精算模型进行计算。并对自己的研究不足之处 进行说明以及提出相应的改进方案。
本文主要使用的研究方法有以下三种,一是文献研究法:通过各种渠道一一国家 统计局数据库、保险公司的相关保单数据、学术期刊文献等,收集相关资料,从而全 面地了解和掌握所要研究问题;二是模型构造法:运用数理知识构建研究对象的数理 模型,以备实证分析;三是实证分析法:利用搜集到的宏观经济数据,来求解模型得 到相应的结果并带入
1.4本文的创新点与不足
本文研究的创新点主要体现在使用模糊数来定义利率模型,并代入寿险精算模型 中,使寿险精算模型也具备了模糊属性,这么做可以在很大程度上削弱由于掌握市场 信息不全面和其他因素波动所带来的风险。与此同时,本文也探究了或将干扰保险人 提取净准备金决策判断的影响因素,即口截集中/的不同水平。通过分析得到/取值 越大,其计算得出的提取净准备金的数据范围越精确,进行决策判断面临的难度相对 较小。这为保险人在实际操作中的相应决策判断提供了参考依据和方向。
本文研究的不足之处主要有,一选用的研究对象较为单一,仅考虑了全离散的寿 险产品定价问题,没有兼顾其他类型的寿险产品;二对保费模型的设定仅考虑了模糊 利率下崑缴纯保费的模型,保费模型中没有涉及保险公司在经营过程中的其他费用, 即没有对模糊利率下毛保费的部分进行深入研究。
第2章相关理论准备
2. 1模糊数学理论的相关基础
2. 1. 1模糊数学的定义
首先我们要了解模糊数学的概念,就需要清楚的定义何为模糊集合。模糊集合论 的中心理论是:将需进行模糊处理的对象和其所包含的模糊概念列入一个模糊集合, 建立相关函数表达,通过对模糊集合的运算,来对模糊处理的对象进行相关分析,从 而探究一些不确定的现象。简而言之,模糊数相当于是对实数的拓展,实数的隶属函 数其实就是它的特征函数。
详细的定义列示如下:
定义2.1:在全域[/上,用下列函数来表示模糊集合座
其中R4被称为4的隶属函数,它表示〃中的元素咒属于集合4的程度;M是一个有 序集,通常我们取M = [o, l]o而模糊集合通常表示为(“,d(x))。隶属函数的定义 是经典集合特征函数的推广,如果4是经典集合,它的特征函数可以表示为:
= (1 ifxEAf
而0和1分别是隶属函数当中的两个极值。
定义2. 2:模糊集合dGO)的必截集定义为:
Aa = {x E U:阴3) n a}o
定义2. 3: 一个模糊集合成为正规的,如果日咒e u,使得= lo
我们一般都要求模糊集合是正规的,对于非正规的模糊集合(“,d(x)),可以通 过让其隶属函数除以sup “& (%)使其正规化。
定义2.4:当全域为实数集R,我们称模糊集合(乩d(x))是凸的且为正态的, 如果成立X/0 G (0,1)以及G R满足如下条件:
Ua(°x + (1 - 0)y) > min(d(Q“&(y))。

定义2. 5:对于模糊集合血(%)),其支集以及核分别记为:
suppA = {x\x E U,皿⑻ > 0},
kerX = {x\x e U屮&(x) = 1}。
定义2. 6:在实数域上模糊集合(乩若suppA为有限集,则称4为有界模 糊数;若suppA匸(0,+oo)则称4是正模糊数;若suppA匸(-8,0),则称4为负模糊 数。
2. 1・2模糊数的运算
模糊数学理论中相关的扩张运算如下:
定义2. 7:设A = B = (R,加(y)),而*为R上的二元运算,其扩张运
算为:
Ma*b(z) = max{min(^ (%), (y)): z = x*y]o
于是扩张加法、扩张乘法分别为:
扩张力口法 /<4+b(z) = max{min(“A(Xh“E(y)):z = x + y},
扩张乘法 dxB(z) = maxfminC^ (%), fiB (y)): z = xxy}o
模糊数4 = (R心(x))的整数次幕定义为:An = A^xAo
如果模糊数B = (R,g(y))满足非零且lim (y)丰0,那么我们可以定义
咒T + 8
扩张除法 11A/B (z) = max{min(/<4(x)川E(y)):z =光一 y}。
2.1.3模糊数的主要类型
定义2. 8:三角形模糊数的隶属函数为:
rX — CL la
皿)={ Q + 2 —%
<0
三角形模糊数加= (a, la,ray其中a为均值,。和丘分别为左右展。
定义2. 9:梯形模糊函数的隶属函数为:
rX — CL la
Ua(x)= <
La
1
b + ra — x
<0
a — la < x < a a < x < b
b <x <b + ra 其他





三角形模糊数是梯形模糊数在a = b时的特殊情形。
定义2. 10:钟形(高新)模糊数的隶属函数为:
%2
卩 a(x) = e~^f
定义2.11:广义钟形模糊数的隶属函数为:
(x-a)2
仏4(咒)=e 2(t2 , (J > 0 ,
从上边的定义能够看出,三角形和梯形模糊数的支集为有限集,而钟形和广义钟 形模糊数的支集为整个实数域R。
需要指出的是,三角形、梯形、钟形和广义钟形模糊数对于加法和实数乘法构成的线 性运算都是封闭的。这条性质对于模糊数在保险、金融领域的应用起到了至关重要的 作用。
定义2. 12:厶R模糊隶属函数为:

其中,厶仗)和R(Q分别是模糊数4的左右基准函数,a>0, 0>0,记为月=
(m, a, 其中m为模糊数的均值,a, 0分别为左右分散。
定义2. 13:对称型模糊数的隶属函数为:
fiA(%) = L((x — a)/a), a > 0 ,
其中厶:(一8,+8)t [0,1],并且L(x) = L(—x),厶(0) = 1,厶在[0,1]上严格递减, 当x >1时,厶(%) = 0,记为(a,a)厶。并且约定当a = 0时,对称型模糊数退化成普通 实数,即(a,0)L = do

2.2寿险精算的相关理论基础
寿险是依据被保人的寿命、健康程度为标的一种保险形式。而寿险精算是指综合 寿险中所出现的诸如被保人生存时间、死亡概率、利率变化等不确定因素,构成数理 模型进行相应的预测等,为实际寿险产品的投保和设置提供理论依据。本文研究的主 要对象是指前两者,是基于被保人个体投保约定的生存期满或死亡为保险的主要内容, 能通过对被保人年龄层类型、投资情况等来具体讨论。
本节将介绍与寿险精算相关的一些基本假设。
以寿险的被保人为主要个体,假设投保时,被保人的年龄为%岁,即记(%)来表达 此时的个体。被保人(Q在将来生存的时间记做T(x)o其中,T(x) = K(Q + S(x)i。
用来描述的分布函数:
Fx(t) = Pr(T < 0 (t > 0) o
F3 被保人(Q未来t年内死亡的概率。
/、 / , F(x + t) - F(x) s(x) - s(x + t)
Fx(t) = Pr(% <X < % + t|X > %) = —i — f(%)— = '
其中,s(x) = 1- F(x) = P(X >光)代表被保人存活大于%年的概率。 用£(上)来描述几对的概率密度函数。
sr(x + t)
= F\(t) = s(%)
s3被保人(%)未来存活大于r年的概率。
/、 /、 S(X + t)
s咒(r) = 1 - Fx(t) = s(%)。
sx(u + t):表示被保人(咒)先存活过u年,再存活过上年的概率。即把被保人(切存 活U年的概率乘以被保人(% + u)存活过r年的概率,此处被保人为同一人。
S(咒 + U + t) S(咒 + u) S(咒 + U + t)
sAu + ° =—丽—二 s(%) X s(x + u) °
tpx-被保人(%)再活上年的生存概率,也可以说是被保人(%)活过% + r岁的概率。 —小-s(x + 0
tPx =加)=
tqx-被保人(%)在未来t年内的死亡概率,也可以说是被保人(%)活不过咒+上岁的 概率。同时需注意,在此处被保人(%)在未来r年内任意时刻死去都计入此概率。
口 门、5(%) - S(X + t)
tQx = F%(t)=
1 K(x)代表存活时间的整数部分,同理S(x)代表存活时间的小数部分。
u\t(lx-被保人(%)在未来某个年龄区间(X + U, X + U + t]内的死亡概率,也可以
说是被保人(咒)活过咒+ U岁后,活不过咒+ U + t岁的概率。 u|tQx = Fx(t) = Pr(u < T(x) <u + t) =Fx(u + t) - Fx(u)
~ u+tQx ~ uQx
=uPx _ U+tPx
S (咒 + U) S (咒 + IX + t)
S(X) S(X)
s (咒 + u) — + u + t) s(x + u)
= X
+ u) s(x)
—uPx tQx + u °
当上=1时,p咒代表被保人(咒)能活过一年的概率,么代表被保人(咒)活不过一年的
概率。
妝:在人群中被保人(X)到达X岁时死亡的比例,也称死力。
s(x) — s(x + Ax) 1
fix = lim x ——
△咒 to+ Ax s(%)
二 s3
—S(x)
—F©)
_ 1 - F(x) °
i:代表利率。一般寿险模型中记为常数,而本文中考虑模糊利率7,将在第3部 分对其进行详细阐述和推导;
v:贴现因子;
n:保单期限。
第3章模糊利率的确定
3.1模糊利率相关基本概念
利率在寿险精算模型中有相当重要的作用,不容有失。但是现实难度依旧存在, 故而很多时候用常数来假定利率,因此带来了一定的风险,尤其是对保单年度较长的 情况来说。所以,目前的研究方向多在如何对利率进行更为有效准确的衡量上。在现 实经济环境下,利率受到多方因素的共同作用。在寿险精算领域,利率主要受到国民 生产总值的增长率、人民币对美元的汇率(美元二1)(元)、通货膨胀率CPI及广义 货币供应量M2增长率这几大要素的综合作用,展现出外在的波动变化。
国民生产总值的增长率(GDP增长率)。这项指标能比较直观可靠的反映一个国 家的经济增长情况。如果指标上升,则代表国家经济发展良好,生机勃勃,人民的生 活水平提高,消费能力增长。因此,中国人民银行或会提高利率基准,实行紧缩的货 币政策。反之,如果指标下降,则代表国家经济发展态势颓靡,出现负增长,相应的 国民收入水平也随之下降,消费能力减弱。据此,中国人民银行或可会提高利率基准。
人民币对美元的汇率(美元二1)(元)。这项指标是指一美元能兑换多少人民币。 如果指标汇率下降,即人民币贬值,有利于推动一般物价水平上升,引起国内物价水 平的上升,从而导致实际利率下降。这种状况有利于债务人、不利于债权人,从而造 成借贷资本供求失衡,最终导致名义利率的上升。反之带来的影响则相反。
通货膨胀率CPI。面临通货膨胀的经济状况时,可以通过较高的利率来吸引货币, 从而达到减少市面上流通货币过多的问题,来抑制通货膨胀进一步扩大;这是由于一 方面存款利率提高,相对其他投资的风险性,人们更倾向于把钱放入银行;另一方面, 随着存款利率的提高,贷款利率也相应提高,贷款成本攀升,会降低人们贷款的欲望 和需求,减少货币流通,抑制通货膨胀。但是大量历史数据研究发现,在实际市场上, 利率的高低和通货膨胀率的高低呈正向关系,也就是说单纯的提高利率并不能起到抑 制通货膨胀的效果,反而会加速通货膨胀,这两者之间的关系涉及复杂的论证。
广义货币供应量M2增长率。市场上的货币供求关系是影响利率的一大重要因素。 从本质上来讲,利率就是资金需求方占用资金供给方资金所需支付的费用,或者叫做 占用成本。那么一旦市场上,供需关系相对紧张,相对应的占用资金所需支付的成本
也就会随之升高,表现在外就是,利率上升;反之,如果供需关系比较宽松,供大于 求,相对应的占用资金所需支付的成本也就会随之降低,表现在外就是,利率下降。
综上所述,本文综合上述四大要素对利率的作用来建立模糊利率估计模型。
3. 2模糊利率模型
当前寿险保单多用随机模型来估计利率,但是由于存在多种外界因素能影响相关 利率,所以用这种方法来估计运用于未来的利率是不可靠的,有较大误差。故而更突 显了运用模糊数学理论来估计利率的优越性,能兼顾模糊信息的影响。基于上述研究, 本文探讨了模糊利率下崑缴纯保费模型以及准备金模型的建立和计算。
由第2部分准备知识中定义2. 8可知,可以利用三角形模糊数兀来表示第兀年的 年利率,即瓦=(4,以,EJ。这是由于在三角形模糊数衡量利率时,用年度内利率 的均值来代表4,最大值厂九和均值的差距代表右展最小值仏和均值的差距代表左 展2耳,综合三者来代表年利率。通过上节的分析研究,本文挑选了几个影响利率的重 要因素:国民生产总值的增长率、人民币对美元的汇率(美元二1)(元)、通货膨胀 率CPI及广义货币供应量M2增长率,分别记作Xk = {X0kfXlkfX2kfX3kfX4k},其中 Xok = l。整个样本扩展到:{(%珞)(2岛),@尼),……
此处运用模糊线性回归来确定模糊参数,因为模糊回归中的自变量可以是确定值、 区间甚至是模糊数,因此比传统的线形回归更具有参考意义。
本文通过对多因素Xokfxlkfx2kfx3kfx4k的模糊线性回归对利率衣进行模糊估计, 得到下式:



又知兀是对木的模糊估计,则由定义2. 8可得



+ @2,匚2' ^2)X2* + @3,。3‘ ra3)X3k
+ @4,1(14, ^4)X4*
4

7 = 0
运用最小二乘数法来衡量石,亟,鬲石的中心血,a2,明,%用石,耳,药, 石来对应估计值。并确认2叹和来最小化《的不确定性,尽力使估计做到一致最大 化。因此需对下列线形规模进行求解:
n 4 n 4
min: 2 =》》匕凶订+》》切瓯I
k=lj=0 k=lj=0
max: a
s. t. fi(ik G k = 1,2, ...,n a e [0,1)
laj‘ 丫呜 A。,j = 0,1,23^4
来估计fiy,1字 心丿•的数值,运用最小二乘法来确定aj, j = 1,2,3,4 0若考虑在Q截集 的/水平上,则有如下模型:
n 4 n 4
min: z =仏•臥I+》》仙凶订
k=lj=0 k=lj=0
4 4 4
s・t.》djXjk _ (》 laj\XJkI + 切凶订)(1 一 Q*) » k = 1,2, ...,n
J = o j = 0,Xjk>0 j = l,Xjk<0
4 4 4
》&jXjk + ( raj\^jk \ + 仏凶』)(1 — Q*)S" k =
j=o j=0,Xjk>0 j=l,Xjk<0
laj,ra. > 0, j = 0,1,234 a* G [0,1)
第4章模糊利率下寿险精算模型
4.1模糊利率下楚缴纯保费模型
4. 1.1M缴纯保费的概念
楚缴纯保费的实质是保单所有未来收取保费的现值。换句话说,投保人在初次投 保时,一次性向保险公司全额缴清的保险费用称为崑缴纯保费。事实上,除年金保费 缴纳外,极少有人能承担一次支付大额保费的压力。而本文选择对崑缴纯保费引入模 糊利率并进行研究,是因为对其的计算是认识定期缴纯保费(如年缴纯保费)计算的 基础,有进一步研究的价值。通常提及的保费是毛保费,即包含其他相关费用,而本 文仅考虑纯保费部分。
投保人缴纳保费的精算现值=保险人给付保险金的精算现值
如果,保险人的签单损失量厶=保险人未来给付额的现值-投保人缴纳净保费的现值
那净保费满足平衡准则:EQ) = O
而楚缴纯保费P, —定存在P =保险人对被保险人给付额的精算现值
通常来说,崑缴纯保费的计算主要有:
(1)兀年期生存保险崑缴纯保费的计算
定期生存保险是指被保险人生存到保险期限届满时,保险人按保险合同的规定给 付保险金的保险。如果被保险人在保险期内死亡,保险人不作任何给付。
假定在咒岁时,有匚人购买兀年期的生存保险,在兀年保险期满时生存的匚+乳人每人 领取1元保险金,其现值为lx+nxvn,根据纯保险费厘定的原则,则有
—1 - 7 、, 1
n]=匚+tiX(] + y,
1 _ SX1/1
Ax: n] _
Lx
也可以记做,
A \
p 1 _ 咒:和
尸x: n\ ~ °
ax-n]
(2)兀年期死亡保险楚缴纯保费的计算
兀年期死亡保险是被保人在保险约定期间内因保险范围内的事故而死亡,保险人 按签署合同规定给付保险金的保险。如果被保人一直生存至保险期届满,保险人不作 任何给付。
假定在咒岁时,有匚人购买兀年期死亡保险,年利率为i,第一年有心人死亡,每人 给付1元,共给付如元,给付额的现值为d^xv1,其中17 = ~ 第二年有心+1人死亡, 共给付以如+1元,给付额的现值为以dx+1xv2 ; ;第兀年有心+—1人死亡,其给
付金额的现值为dx+n_1xvno
根据纯保费厘定的原则,匚人缴纳的纯保费之和等于各年给付的保险金现值的和, 即
—1 _ 1 1 ( 「 、, 1 lxxAx. n-| = dxx ] * + d咒+]X(] * 严 + •…+ d%+n-ix(] +
贝U,每人应缴纯保费为:
_ d^xv1 + dx+1xv2 + …+ dx+n_^vn
^x\ n\ ~ j
Lx
也可以记做
(3)n年期生死合险楚缴纯保费的计算
n年期生死合险其实就是兀年期死亡保险和71年期死亡保险的结合体,也就是说被 保人在投保期限内,不论是死亡还是生存,都能获得保险金的一种极为流行的保险。 例如养老保险。同时生死合险也最常运用到的一种险种。
71年期生死合险的楚缴纯保险费公式为:
dy-Xv1 + dx+1xv2 + …+ xvn J J
^x:n\ = / *■ v nPx = ^x: n\ + ^x: n\,
可记做
p =食阳
rx\n\ - °
ax-n\
(4)终身寿险楚缴纯保费的计算
终身寿险也是有时限的,只不过它的保单年限往往很长能覆盖大多数人的一生, 可以视作一种长期的定期保险,用3 - % + 1年来记做保单年限。
终身寿险的楚缴纯保险费公式为:
d^xv1 + dx+1xv2 + …+ 血_5>< 计-咒+1

4. 1. 2模糊楚缴纯保费的概念及计算
而模糊楚缴纯保费是指,在引入模糊利率的情形下,楚缴纯保费变得具有模糊性 质。接下来将用一个简单的例子来阐述模糊利率下崑缴纯保费的计算。
未来十年的利率Z是一个模糊数,假定其为6%左右,假设1 + i的隶属函数如下:
100%- 104 1.04 < % < 1.05
“i+i — ■ 1 1.05< 咒 <1.065 ,
(43.6 — 40% 1.065 < x < 1.09
其图像如下(梯形模糊数):



则模糊数 1 + i为(1.04, 1.05, 1.065, 1.09), fi+ = 100%-104, fi_ = 43.6 -
40%o
10年期纯生存保险的楚缴纯保费NSP =保额X生存概率X折现因子DF,
折现因子DF = (1 + CT】。也是一个模糊数。
我们可以得到:
DF =(0.4224, 0.5327, 0.6139, 0.6756),
0.4224 <y < 0.5327
0.5327 <y < 0.6139 。
0.6139 <y < 0.6756

假定有一张保单为100元保额,生存概率10^25 = 0.99(表示被保人此时为25岁,
继续再活10年的概率为0. 99),那么楚缴纯保费WSP = 100x0.99x(1 + 0~10,近似
取NSP =(41.81, 52.74, 60.78, 66.88),其图像如下:



图4-2模糊楚缴纯保费的隶属函数
利率的模糊信息将被反映在保费当中。
4. 1. 3模糊利率下楚缴纯保费模型的建立与求解
前两小节简单介绍了楚缴纯保费的概念和简单的模糊利率下楚缴纯保费的简单 举例计算。在该部分,将具体建立模糊利率下的楚缴纯保费模型并进行相应的计算求 解。
根据纯保费厘定的原则,匚人缴纳的纯保费之和等于各年给付的保险金现值的和, 即保险人给付的保险金的精算现值等于投保人缴纳的纯保费的精算现值。假定这一法 则在模糊利率的情况下仍旧适用。
设楚缴纯保费为P,则投保人缴纳保费的精算现值为:Px丘屁而
保险人的签单损失量厶=沪仗)+1 _ Px
又因为净保费满足平衡准则:E(厶)= 0, 我们可得Ac和=P X心五],
在a截集上,对任忌a E [0,1]9存在加尤:元]伉=巴:xa%:元]&,
因此,对任意a E [0,1],存在

楚缴纯保费P是一个模糊数。
4. 2模糊利率下净准备金模型
在保险业务经营中,保险准备金是用以确保保险公司运营,保障被保人的权益所 要求的能负担责任的一定数额的资金,往往从保险公司的保费收入和盈余中提取,其 重要性不言而喻。
本节所讨论的净准备金区别于准备金,主要体现在保险准备金考虑保险费用等其 他因素,而净准备金仅考虑保险人是否能给付有效保单等索赔。
4. 2. 1净准备金的概念
4. 2. 1. 1保险准备金的分类及概念
保险准备金有不同的分类,主要包括以下四种:
(1)总准备金
总准备金(又称公积金或自由准备金)是保险公司在年终决算后依据相应的比例 从税后利润中提取并经年累积,预防在出现巨额赔偿时所需要赔付的资金。其主要用 于承担损失风险远超期望范畴的责任准备金。设置总准备金,既是保持保险人业务经 营稳定和组织经济补偿的需要,也是巨型灾害和特大事故的发生在年度间不平衡的必 然结果。提取总准备金的计算方法是:总准备金二当年实现的利润-当年所得税-调节 税-利润留成
(2)未到期责任准备金
未到期责任准备金是指在每个会计决算年度末,提取未到期保险的准备金。这是 由于保单年度和会计决算年度往往不同的。举例来说,如果一份保单的初始日期是 2015年的3月1日,那么在这份保单的保单年度中,前十个月处在2015年的会计决 算年度,而后2个月则处在2016年的会计决算年度中。因此我们需要正确区分两者 的差异。提取未到期责任准备金是为了正确区分相应保单保险金支付的来源。按照我 国保险精算规定:会计年度末未到期责任准备金按照本会计年度自留毛保费的50%提 取。未到期责任准备金应在会计年度决算时一次计算提取,提取的计算方法有年平均 估算法、季平均估算法和月平均估算法。
(3)未决赔款准备金
未决赔款准备金(或称赔款准备金)同样是对会计决算年度末之前出现的保险事 故但是并未给付赔款而提取的准备金。之所以提取未决赔款准备金,是因为赔案的发 生、报案、结案之间存在着时间延迟,有时该延迟会长达几个年。未决赔款准备金包 括已发生已报案赔款准备金,已发生未报案赔款准备金和理赔费用准备金。
(4)再保险准备金
保险准备金是保险公司为承担保险责任或备付未来赔款的一项基金。其基金从保 费收入或资产中按期提存。虽然保险准备金的来源是保费收入,但这种从保险费中提 取的基金不是保险公司的资产,而是负债。在这种负债背后,必须有等值的资产作为 后盾。财产保险和责任保险的准备金,按提存的方式分为法定准备金和任意准备金两 种。其中,法定准备金可分为未到期责任准备金和未决赔款准备金。人身保险准备金 的主要形式是责任准备金。人身保险准备金必须单独提存,以保证保险公司有足够偿 付能力来履行赔偿和给付责任。再保险准备金实际上是保证金。分出公司为备付再保 险接受人在再保险合同下应负责的赔款,从应付的再保险费中扣存的一项基金,称为 再保险准备金。
4. 2. 1. 2保险净准备金的概念
所谓的保险准备金简单来说就是保险公司对未来现金流的流出根据一定预定利 率折现的相应负债。
举例说明,在不考虑死亡率的情况下,如果在未来一百年内,保险人在每年末一 定会支出100元,银行利率4%,则现在需要准备的金额为现金流的现值。那么在考 虑死亡率的情况下,比如该被保人今年内死亡的概率是0.8,但今年末保险人要付给 他100元,那么保险人的赔付均值就是80元,同理得各期均值赔付(考虑了死亡率) 再进行折现即可。
4. 2. 2准备金的基本评估方法
4. 2. 2. 1提取保险准备金的原则
保险公司在提取保险准备金,需充分考虑两个原则:保障被保人利益和保证偿付 能力。
(1)保障被保人利益的原则。
被保人在整个保险事项中是最重要的相关方之一,合理合法的保障其相关权益是 不容商榷的。如何保障被保人的利益不受侵犯,是每家保险公司需要重点关注的,最 基本的要求是保险公司要按照合约履行相应的义务,承担相应的给付保险金的责任。 另一方面来说,要更好的保障被保人的利益,也需要保险公司自身能够有序的进行运 营,能健康的持续运作,有充足的资金用于进行相关赔付。同时能让被保人信赖也是 很关键的一点。这些就需要保险公司合理的提取准备金并加以运用。
(2)保证偿付能力的原则。
保证偿付能力,其实就是在呼应上一点,进一步维护被保人的利益。保险公司自 身正常健康合理有序的运作,有相应的偿付能力应对各项资金需求,有足够的资金储 备,能快速及时的赔付保险金。这些都强调保险公司要能合理的提取足够的保险准备 金,以应对各种事件及需求。
4. 2. 2. 2保险准备金的的计算
本文在此章节仅讨论寿险准备金的计算过程和方法,其他险种的计算不在此处赘 述。实际上,寿险准备金的计算较为复杂。一般情况下,保险公司会根据以往积累下 来的市场数据建立纯保费的死亡统计表以及不同险种的各类换算表(现值、终值、复 利等)可供直接查询。但是这种简化,暗藏诸多隐患。因为这种既定的利率是无法准 确反映市场的变化的。
通常来讲,准备金的提取是在保单正式生效后,每年末保险公司会计提一次准备 金,而常用的方法有两种,过去法和将来法。
(1)过去法:
过去法是指对过去保单年度已经抽取的保费进行计算的一种方法。也就是把过去 年度内累积已经抽取的保费及利息扣除过去年度内保险公司已经累计支付的保险金 和相应的利息。过去法t年末准备金的一般公式为:
” =t时前全部已缴净保费的终值卷-t时前全部已赔付保险金的终值耳,
tV = Art-Bio
(2)将来法:
将来法是指对未来剩余保单年度将要抽取的保费进行计算的一种方法。也就是把 未来剩余年度内需要支付的保险金的现值扣除未来剩余年度内累计收取的保费的现 值。将来法上年末的准备金的一般公式为:
tv = r时后全部未赔付保险金的现值耳‘ -r时后全部未缴净保费的现值4仁
tV = B^-A^o
本文对净保费的计算采用的就是将来法。
又根据收支均衡的要求,整个保险合同期限内,所有累计收取的保费和相应产生 的利息要等于累计给付的保险金和相应产生的利息。用公式表示为:
t时前全部已缴净保费的终值卷+ t时后全部未缴净保费的现值4?
=上时前全部已赔付保险金的终值耳+ t时后全部未赔付保险金的现值
即:卷+ A'' = B; + B?或卷一耳=理—A^o
4. 2. 2. 3净准备金的的计算
在现实保单签署期内,存在缴纳保费少于支付保险金的情况。而保险公司为了自 身的经营需要提前考虑这种情况岀现的概率,并提前提取一定的资金以备所用,将这 称之为准备金。净准备金与准备金的区别在于是否要包含整个过程中其他费用。
通常来说,净准备金的计算主要有:
(1)兀年期生存保险的净准备金的计算
假定在咒岁时,有匚人购买兀年期的生存保险,在年保险期满时生存的匚+乳人每人 领取1元保险金,其现值为lx+nxvn,到第k个保单年度,其剩余给付金额的现值 4咒+匕冷,投保人的保费缴纳少于保险公司支付的金额时,要提取净准备金,提取 的金额相当于保险人在未来剩余年限九-k年内给付的总金额减去投保人在未来剩余 年限兀-k年内缴纳的保费。
在第k个保单年度,兀年期生存保险的净准备金记做
y 1 - + 去]—Til X 镣 + 匕五] k<n c
11 k = n
(2)兀年期死亡保险的净准备金的计算
假定在咒岁时,有山人购买兀年期死亡保险,年利率为i,第一年有心人死亡,每人 给付1元,共给付心元,给付额的现值为d^xv1,其中I; = 土;第二年有d咒+i人死亡, 共给付以如+i元,给付额的现值为以dx+1XV2 ;……;第71年有dx+n_r人死亡,其给 付金额的现值为dx+n_rxvno到第/c个保单年度,其剩余给付金额的现值为匕 刊]。

到第k个保单年度,投保人未来缴纳的保费不足以满足保险人未来给付的需要。
则需提取净准备金,提取的金额相当于保险人在未来剩余年限九-/C年内给付的总金 额减去投保人在未来剩余年限n - /C年内缴纳的保费。
即在第k个保单年度,兀年期死亡保险的净准备金记做

(3)71年期生死合险的净准备金的计算
综合上述(1) (2),到第k个保单年度,71年期生死合险的楚缴纯保险费公式为:
{A _ p 乂万
n-k] x'n^ %+/c:n-/c]
(4)终身寿险的净准备金的计算
kVx — ^x+k — PxXg+k。
4. 2. 3模糊利率下的净准备金建模与求解
当K(x) > m代表被保人(咒)在第TH个保单年度内仍旧存活,K(x) = m代表被保人 (咒)在第TH + 1个保单年度里死亡。
根据函数运算定理可知,若存在非负函数/I,则有 E[h(T(x))!K(x) >m\ = E(h(T(x + m))),
则根据国际精算法表示,在第k个保单年度末保险公司的未来损失量厶为
k^x = 7 - P(忑和)X?,
净准备金在第k个保单年度末记做
kVx.^=E(kL\K(x)>k)o
结合前文定义建立模糊利率下的净准备金模型,记为
kVx.^=E(kL\KM>k)
~ ^%+/c: n-k] ^%:n] ^^x+/c:n-/c| °
贝fj,对于任意a E [0,1],存在
kVx\n\a —"尤+k:九一*]伉
第5章数值实例分析
5. 1模糊利率数值分析
根据第3部分,模糊利率的模型如下所示



=罗=0(勾,la/ raj)Xjk = lf2f ...fn
其中,%为模糊利率的均值,2映和Qk为b的左右展,用来描述弘不确定性的跨度 范围。Xw X2k, X3k,笛丘描述的是影响利率的几个因素:国民生产总值增长率、人 民币外汇率(人民币对美元汇率(美元二1)(元))、通货膨胀率CPI及广义货币供 应量M2增长率2,而*啦=1。
由于在精算模型中常选用第二版生命表《中国人寿保险业经验生命表(2000- 2003)》。因此本文的数据选取了 96年初至05年末中国人民银行调整的整存整取一 年期定期存款的基准利率和上述四个要素,以1996年作为起始年,2005年为终止年, 依次对应k = lf2f ...,10,见下表5-1。
通过对4分别和X\k,X2k,X3k,X4k进行相关性分析,可以比较显然的发现4与
呈现负相关的关系,故为了方便后面数据的分析对比,修改模糊利率模型为:

— @2,1(12, ^2)X2* + @3,^3,^3)X3* + (% 匕,^4)X4*
表5-1利率及其影响因素的数据汇总
年份 k ik % X\k X2k X3k X4k
1996 1 0. 0921 0. 0747 0. 1098 0. 1707 8. 314 0. 083 0. 253
1997 2 0. 0657 0. 0567 0. 0747 0. 1095 8. 290 0. 028 0. 173
1998 3 0. 0522 0. 0477 0. 0567 0. 0687 8. 279 -0. 008 0. 153
1999 4 0.03015 0. 0225 0. 0378 0. 0624 8. 278 0. 014 0. 147
2000 5 0. 0225 0. 0225 0. 0225 0. 1063 8. 279 0. 004 0. 123
以上数据均来源于中华人民共和国国家统计局官方发布


2001 6 0. 0225 0. 0225 0. 0225 0. 1052 8. 277 0. 007 0. 144
2002 7 0.02115 0. 0198 0. 0225 0. 0973 8. 277 -0. 008 0. 168
2003 8 0. 0198 0. 0198 0. 0198 0. 1287 8. 277 0. 012 0. 196
2004 9 0.02115 0. 0198 0. 0225 0. 1771 8. 277 0. 039 0. 146
2005 10 0. 0225 0. 0225 0. 0225 0. 1567 8.1733 0. 018 0. 176
依据前文所述方法对模糊利率进行估计,并结合目前的数据进行模型运算,可得:
10 4 10 4

k=lj=0 k=lj=0
4 4 4
st》djXjk - (》 仏冈订+ 》 切凶』)(1 一 Q*) »抵,k = 12・・・,10
J = o j=0,Xjk>0 j = l,Xjk<0
4 4 4
》 ra.\Xjk\+ 》 S 冷 |)(1 —k = lf210
J = o j=0,Xjk>0 j = l,Xjk<0
l(ij‘ 丫aj j = 0,1,2,3,4 a* E [0,1)
利用Lingo进行数据分析,得出的估计结果汇总在下表5-2中。
表5-2模糊利率的参数估计结果汇总
疋3 a4
CCj = CCj 0.1505 0. 0905 0. 0169 0.1574 0. 0075
a* =0 laJ 0.0416 0. 0382 0. 0046 0.0640 0. 0060
0.0416 0. 0384 0. 0046 0.0646 0. 0062
lai 0.0312 0. 0286 0. 0034 0.0480 0. 0044
a* = :0.25
0.0312 0.0288 0. 0034 0.0484 0.0046
lai 0. 0208 0.0192 0. 0022 0.0320 0.0030
a* = :0.50
r-J 0. 0208 0.0192 0. 0024 0.0323 0.0031
lai 0. 0104 0. 0096 0. 0012 0.0160 0. 0016
a* = :0.75
0. 0104 0. 0096 0. 0012 0.0162 0. 0016
a* =1 5 0 0 0 0 0
r-J 0 0 0 0 0
表5-3计算来参数丘°,鬲,&2,鬲,龟分别在伉截集为0, 25%, 50%, 75%, 1

时,aOa,ala,a2a,a3a,為」勺取值情况。
表5-3 a截集下的参数估计结果汇总
aoa 丄a a2 a4a
a = 0 a = 0.25 [0.1089,0.1921]
[0.1193,0.1817] [0.0523,0.1289]
[0.0619,0.1193] [0.0123,0.0215]
[0.0135,0.0203] [0.0934,0.2220]
[0.1094,0.2058] [0.0015,0.0137]
[0.0031,0.0121]

a = 0.5 [0.1297,0.1713] [0.0713,0.1097] [0.0147,0.0193] [0.1254,0.1897] [0.0045,0.0106]
a = 0.75 [0.1401,0.1609] [0.0809,0.1001] [0.0157,0.0181] [0.1414,0.1736] [0.0059,0.0091]
a = 1 0. 1505 0. 0905 0. 0169 0. 1574 0. 0075
上述几表的信息反映了影响利率程度相对较高的是国民生产总值增长率和通货 膨胀率CPI。但是这两者的三角形模糊函数的左右展跨度也较大,比较难以选择。这 次额都需要精算师在进行利率选择和保险定价时综合考量。
我们可以得出模糊利率是:
(1)a* = 0
瓦=(0.1505, 0.0416, 0.0416)X0fc-(0.0905, 0.0382, 0.0384)Xlk -
(0.0169, 0.0046, 0.0046)X2fc +(0.1574, 0.0640, 0.0646)X3/c +
(0.0075, 0.0060, 0.0062)X4fco
(2)a* = 0.25
瓦=(0.1505, 0.0312, O.O312)Xok-(0.0905, 0.0286, 0.0288)Xlk -
(0.0169, 0.0034, 0.0034)X2花 +(0.1574, 0.0480, 0.0484)X3/c +
(0.0075, 0.0044, 0.0046)X4/c°
(3)a* = 0.5
瓦=(0.1505, 0.0208, O.O2O8)Xofc-(0.0905, 0.0192, 0.0192)Xlk -
(0.0169, 0.0022, 0.0024)X2k +(0.1574, 0.0320, 0.0323)X3k +
(0.0075, 0.0030, 0.0031)X4ko
(4)a* = 0.75
兀=(0.1505, 0.0104, 0.0104)Xok-(0.0905, 0.0096, 0.0096)Xlk -
(0.0169, 0.0012, 0.0012)X2花 +(0.1574, 0.0160, 0.0162)X3k +
(0.0075, 0.0016, 0.0016)X4fco
(5)a* = 1
瓦=0.1505 — 0.0905Xlk — 0.0169X2k + 0.1574X3fc + 0.0075X4fco
上述五个模糊利率表达式中,k为需计算的具体保单年度。
5. 2实证分析
前一节估计了模糊利率的取值,本节将之运用到寿险精算模型中。本节将全离散 状态下的生死合险进行研究。数值分析的案例如下:60岁男性被保人持有1元保额 的10年期生死合险。保险公司在第8年对其进行提取净准备金的资金额度分析。死 亡率分布采用《中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)》3,如下表5-4所示。
表5-4中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)(部分)
年龄 Qx 年龄 Qx
60 0.009313 65 0. 016134
61 0. 01049 66 0. 017905
62 0.011747 67 0. 019886
63 0.013091 68 0. 022103
64 0.014542 69 0. 024571
给定相应的假设条件,在n = 1时,X] = 0.010, X2 = 6.8281, X3 = 0.050, X4 = 0.0178o
本节仅对a* = 0. 25和a* = 0. 75这两种情况下的模糊利率进行估计。其他几种可 类比。
(1)当&* = 0.25 时
依据上一节的结论,该担保年度的年利率应为:
兀=(0.1505, 0.0312, 0.0312)-(0.0905, 0.0286, 0.0288)x0.10 -
(0.0169, 0.0034, 0.0034)X6.8281 +(0.1574, 0.0480, 0.0484)x0.05 +
(0.0075, 0.0044, 0.0046)x0.178 = (0.03526,0.008307,0.006977),
三角形模糊数(0.03526,0.008307,0.006977)可以运用到整个10年期生死合险保
单的计算当中。
(2)当 a* = 0.75 时
依据上一节的结论,该担保年度的年利率应为:
选取《中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)》中CL1 (2000-2003):非养老类业务一表(男) 兀=(0.1505, 0.0104, 0.0104)-(0.0905, 0.0096, 0.0096)x0.10 - (0.0169, 0.0012, 0.0012)X6.8281 +(0.1574, 0.0160, 0.0162)x0.05 + (0.0075, 0.0016, 0.0016)X0.178 = (0.03526,0.002331,0.002341),
三角形模糊数(0.03526,0.002331,0.002341)可以运用到整个10年期生死合险保 单的计算当中。
5. 2. 1模糊利率下楚缴纯保费模型的实证分析
(1)当 / = 0.25 时
年利率为三角形模糊数(0.03526,0.008307,0.00697刀。
其况截集的表达式为:对任意/ G [0,1),
心=[心’ra*\ '
存在模糊利率下的後。:诃(生死合险的精算现值)以及。60:词(生存年金的精算 现值)列示如下:
dta =[鱼,兀J = [(1.04223 — 0.006977亿)一方,(1.02695 + 0.008307a)-f]o
表5-5模糊随机利率下生死合险的精算现值月60:词=S^i4t-l|Q60 + <51O1O|P6O
t dta = ^t(j\ P
1 [(1.04223 — 0.006977a)-1, (1.02695 + 0.008307a)-1] 0. 0135
2 [(1.04223 — 0.006977a)-2, (1.02695 + 0.008307a)-2] 0. 0146
3 [(1.04223 — 0.006977a)-3, (1.02695 + 0.008307a)-3] 0. 0158
4 [(1.04223 — 0.006977亿)一4, (1.02695 + 0.008307a)-4] 0. 0171
5 [(1.04223 — 0.006977a)-5, (1.02695 + 0.008307a)-5] 0. 0185
6 [(1.04223 — 0.006977亿)一6, (1.02695 + 0.008307a)-6] 0. 0199
7 [(1.04223 — 0.006977a)-7, (1.02695 + 0.008307a)-7] 0. 0214
8 [(1.04223 — 0.006977a)-8, (1.02695 + 0.008307a)~8] 0. 0229
9 [(1.04223 — 0.006977a)-9, (1.02695 + 0.008307a)~9] 0. 0245


10 [(1.04223 — O.OO6977a)~10, (1.02695 + O.OO83O7a)~10] 0. 0261
>10 [(1.04223 — 0.006977亿)T°, (1.02695 + O.OO83O7a)-10] 0. 8051
表5-6模糊随机利率下生存年金的精算现值丘60:词=m=0dttp60


t dta = ^t(j\ P
0 1 1
1 [(1.04223 — 0.006977a)-1, (1.02695 + 0.008307a)-1] 0. 9864
2 [(1.04223 — 0.006977a)-2, (1.02695 + 0.008307a)-2] 0. 9717
3 [(1.04223 — 0.006977a)-3, (1.02695 + 0.008307a)-3] 0. 9558
4 [(1.04223 — 0.006977a)-4, (1.02695 + 0.008307a)-4] 0. 9386
5 [(1.04223 — 0.006977亿)一5, (1.02695 + 0.008307a)~5] 0. 9201
6 [(1.04223 — 0.006977a)-6, (1.02695 + 0.008307a)-6] 0. 9002
7 [(1.04223 — 0.006977a)-7, (1.02695 + 0.008307a)~7] 0. 8787
8 [(1.04223 — 0.006977a)-8, (1.02695 + 0.008307a)~8] 0. 8558
9 [(1.04223 — 0.006977a)-9, (1.02695 + 0.008307a)-9] 0. 8312
则a截集上的楚缴纯保费为:
_ 凡=1 鱼Q方-1|960 + ^£仇10|卩60 ^tat-l|Q60 + ^10a10|P60
. St=o ^tatP60 Y?=0 鱼亿汐60

因此可知在当cc = 0,0.25,050.75,1时耳的值如表5-7所示:
表5-7
a Pa = [&' P』
0 [0.0829, 0.1007]
0. 25 [0.0849, 0.0982]
0. 5 [0.0869, 0.0957]
0. 75 [0.0889, 0.0934]
1 [0.0911, 0.0911]


(2) 当&* = 0.75 时
年利率为三角形模糊数(0.03526,0.002331,0.002341),
其必截集的表达式为:对任意/ G [0,1),
・* =[心’厂仇*],
存在模糊利率下的X60 -1 (生死合险的精算现值)以及怎0:诃(生存年金的精算 现值)列示如下:
表5-8模糊随机利率下生死合险的精算现值加60:词=》芒1必£一讹60 + ^1010|P60
t dta = ^ta\ P
1 [(1.03760 — 0.002341a)-1, (1.03292 + 0.002331a)-1] 0. 0135
2 [(1.03760 — 0.002341a)-2, (1.03292 + 0.002331a)-2] 0. 0146
3 [(1.03760 — 0.002341a)-3, (1.03292 + 0.002331a)-3] 0. 0158
4 [(1.03760 — 0.002341a)-4, (1.03292 + 0.002331a)-4] 0. 0171
5 [(1.03760 — 0.002341a-5, (1.03292 + 0.002331a)-5] 0. 0185
6 [(1.03760 — 0.002341a)-6, (1.03292 + 0.002331a)-6] 0. 0199
7 [(1.03760 — 0.002341a)-7, (1.03292 + 0.002331a)~7] 0. 0214
8 [(1.03760 — 0.002341a)-8, (1.03292 + 0.002331a)~8] 0. 0229
9 [(1.03760 — 0.002341a)-9, (1.03292 + 0.002331a)-9] 0. 0245
10 [(1.03760 — 0.002341亿)一1°, (1.03292 + O.OO2331a~10] 0.0261
>10 [(1.03760 — O.OO2341a)~10, 1.03292 + 0.002331a] 0. 8051


表5-9模糊随机利率下生存年金的精算现值丘60:诃=Xt=0dttp60
t dta = ^t(j\ P
0 1 1
1 [(1.03760 — 0.002341a)-1, (1.03292 + 0.002331a)-1] 0. 9864
2 [(1.03760 — 0.002341a)-2, (1.03292 + 0.002331a)-2] 0. 9717


3 [(1.03760 — 0.002341a)-3, (1.03292 + 0.002331a)-3] 0. 9558
4 [(1.03760 — 0.002341a)-4, (1.03292 + 0.002331a)-4] 0. 9386
5 [(1.03760 — 0.002341a-5, (1.03292 + 0.002331a)-5] 0. 9201
6 [(1.03760 — 0.002341a)-6, (1.03292 + 0.002331a)-6] 0. 9002
7 [(1.03760 — 0.002341a)-7, (1.03292 + 0.002331a)-7] 0. 8787
8 [(1.03760 — 0.002341a)-8, (1.03292 + 0.002331a)-8] 0. 8558
9 [(1.03760 — 0.002341a)-9, (1.03292 + 0.002331a)-9] 0. 8312
则a截集上的楚缴纯保费为:

p _工闕1鱼/-谄6。+如訳0|卩60 工世1石必_讹6。+石门006(/
. Xt=o ^tatP60 "7=0 鱼亿汐60
因此可知在当CC = 0,0.25,050.75,1时&的值如表5-10所示:
表 5-10
a Pa =血’Pa]
0 [0.0884, 0.0938]
0. 25 [0.0890, 0.0931]
0. 5 [0.0882, 0.0924]
0. 75 [0.0904, 0.0917]
1 [0.0911, 0.0911]

5. 2. 2模糊利率下净准备金模型的实证分析
(1)当/ = 0.25 时
第8个保单年度末的净准备金的表达式显示如下:
8^60:诃幺 _ ”68:习—^60:10] X^68:2]?
其中,月68:词=凶力]=[St=l ^t^t-l|Q68 + &2|卩68,£=0 〃 切汐 68 + 辺 2


则在三角形模糊利率(0.03526,0.008307,0.006977)下,结合表5-1可以计算凶刁] 和血可的贴现函数。
表5-11模糊随机利率下[生刁]的贴现函数及P
t dta =[心况‘ ^ta\ P
1 [(1.04223 — 0.006977a)-1, (1.02695 + 0.008307a)-1] 0. 0286
2 [(1.04223 — 0.006977a)-2, (1.02695 + 0.008307a)-2] 0.0305
>2 [(1.04223 — 0.006977a)-3, (1.02695 + 0.008307a)-3] 0.9407
表5-12模糊随机利率下血可的贴现函数及P


t dta = [d.' P
0 1 1
1 [(1.04223 — 0.006977a)-1, (1.02695 + 0.008307a)-1] 0. 9713
综合表5-7、表5-11、表5-12以及
-2 1 -
8^60: 10]^ =》^t^t-l|Q68 + 〃2©2|卩68,》^tatP68 + 迈2|卩68
Lt=i t=o -
1 1 '
-舄》如必卩68,》〃仏卩68 '
工=0 =0 _

可以推出在第8个担保年度末,当cc = 0,0.25,050.75,1时净准备金的值如表5-
13所示:
表 5-13
a 8%词a =匾,尬
0 [0.7257, 0.7886]
0. 25 [0.7338, 0.7809]
0. 5 [0.7418, 0.7732]
0. 75 [0.7496, 0.7653]
1 [0.7574, 0.7574]


(2)当&* = 0.75 时
第8个保单年度末的净准备金的表达式显示如下:
8^60:诃幺=力68:可—^60:10] X^68:2] ?
其中'兀 68:词=[―^] = [&=1■鱼 &— 1円68 + 疣 2|卩68,芳=0 〃 切汐 68 + 迈 2|卩68],

0 [0.7477, 0.7669]
0. 25 [0.7501, 0.7645]
0. 5 [0.7525, 0.7652]
0. 75 [0.7550, 0.7598]
1 [0.7574, 0.7574]
对比/ = 0.25和/ = 0.75两者的具体实例计算结果,可以观察到在不同Q*水平 上,净准备金的左右展跨度不同。这是因为在处理不同参数/时,选用的三角形模糊 数的模糊利率( rj不同。
可以较为明显的观察到,/的大小与模糊变量的左右展范围呈负相关性。换言之, Q*越小,左右展范围越大,越难以进行选择;反之,Q*越大,左右展范围越小,相对 而言,选取利率会相对容易。尤其是/最大取1时,模糊变量的左右展缩小到重合, 也就是表达为中心数值;而当/取零时,模糊利率的左右展最大,则对应的这个模糊 利率的可选择范围也最大。
综上所述,通过本节对模糊利率下净准备金模型的数值实例分析可得,当/= 0.75时得到的净准备金计算结果的范围要小于当/ = 0.25时,这反映了,当/的数值 越大时,计算得出的模糊利率下净准备金的范围越精确,进行相应决策衡量时面临的 难度相对较小。
第6章结论与展望
实际的情况下,保险的利率都是难以简单衡量出来的,有诸多因素会对其产生影 响,可以说保险的利率是在各种因素通过复杂的博弈所表现出来的。因此,当我们无 法掌握所有信息的情况下,如何更高效的利用现有的数据,来更有效的估计利率是我 们需要解决的问题。出于以上原因,本文尝试运用三角形模糊变量来描述利率,将模 糊利率引入到寿险模型。在假定条件下,讨论了全离散定期生死合险的楚缴纯保费和 准备金的模型计算问题,举出了一种寿险定价的决策,这么做可以有效的规避由于缺 失市场信息和影响因素不确定而带来的相应风险。
文末提及,对影响保险人进行提取净准备金决策判断的影响因素的研究,即况截 集中/的不同水平也是影响保险人进行决策判断的因素。对比/ = 0.25和/ = 0.75 两者的具体实例计算结果,可以观察到在不同/水平上,净准备金的左右展跨度不同。 通过分析得到/取值越大,其计算得出的提取净准备金的数据范围越精确,进行决策 判断面临的难度相对较小。这为保险人在实际操作中的判断提供了参考依据。但需注 意,/的取值并不是越大越好,例如,当/ = 1时,虽然通过运算得到的模糊利率仍 是一个三角形模糊数,但其左右跨度均为0,实际上,这个利率已经不具备模糊性。 保险人实际决策中,对/的选取还是需要依赖精算人员丰富的经验、对以往大量案例 的经验总结以及对当前经济情况的判断,综合考量来做出审慎的判断。
在现实生活中,保险人出具每份保单时,利率都是变化的,由于利率的随机性, 依照传统的固定利率来计算相应保费显然是不合理的,往往会无法达到保险人对风险 和经营目标的需求,为未来的经营带来不可知的风险,故而将模糊利率引入寿险精算 模型具有规避风险的重要现实意义。本文汲取了前人对模糊数学理论研究成果,将之 运用到利率的模型构建当中,然后在模糊利率下构建全离散情况的寿险精算模型,构 建了生存年金和生死合险下的模糊精算现值、模糊楚缴纯保费和模糊净准备金,并且 根据给定的条件,进行了数值实例分析。实际运用中,仍需依赖相关经验在模糊估计 的结果上选取确定值。
本文的研究尚存在不足,仅对全离散情况下的寿险模型进行研究,连续情况并未 提及,仍需深入研究,未来可以尝试应用到其他寿险模型上,例如优化连续型保险定 价模型。同时在本文研究的基础上,可以将经验从单生命生存模型中迁移到多生命生 存模型中去,如考虑在夫妻联合生存模型中引入模糊变量,完善定价模型。
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