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对来自理论物理中几类偏微分方程 的数学研究

时间:2020-08-13来源:博士论文

在本文中,我们将利用奇异摄动理论中的渐近展开法、经典的能量方法、变 分方法(包括直接变分法和约束变分法)、上下解方法(也称为单调方法)、山路引 理(也称为极大极小方法)和加权的Sobolev空间技巧等,对来自于现代物理学领 域的几类方程进行了深入地研究.具体说来就是,对来自于辐射流体力学中的输 运方程利用渐近展开法和能量方法研究了其混合层方程的渐近极限问题;对来自 于弦理论中正反膜效用理论的BPS涡旋方程综合利用变分法、上下解方法和加 权的Sobolev方法,在全平面上研究了其非拓扑解的存在性和解在无穷远处的渐 近性态;对来自于规范场理论中Yang-Mills-Chern-Simons模型(简记为YMCS模 型)利用变分法和分析技巧研究了其径向对称解的存在性,并给出了解在边界点 处的渐近估计;最后,我们对来自于现代光学中的非线性Schrodinger方程利用 约束变分法和山路引理研究了其稳态方程涡旋解(包括鞍点解)的存在性.
在本文中,我们将利用奇异摄动理论中的渐近展开法、经典的能量方法、变 分方法(包括直接变分法和约束变分法)、上下解方法(也称为单调方法)、山路引 理(也称为极大极小方法)和加权的Sobolev空间技巧等,对来自于现代物理学领 域的几类方程进行了深入地研究.具体说来就是,对来自于辐射流体力学中的输 运方程利用渐近展开法和能量方法研究了其混合层方程的渐近极限问题;对来自 于弦理论中正反膜效用理论的BPS涡旋方程综合利用变分法、上下解方法和加 权的Sobolev方法,在全平面上研究了其非拓扑解的存在性和解在无穷远处的渐 近性态;对来自于规范场理论中Yang-Mills-Chern-Simons模型(简记为YMCS模 型)利用变分法和分析技巧研究了其径向对称解的存在性,并给出了解在边界点 处的渐近估计;最后,我们对来自于现代光学中的非线性Schrodinger方程利用 约束变分法和山路引理研究了其稳态方程涡旋解(包括鞍点解)的存在性.
本文共分五章.第一章简单介绍上述四类方程的物理背景、研究现状和本文 所得到的主要结果.为了方便起见,我们也罗列了本文所用到的一些知识.
在第二章中,我们研究了描述辐射在材料中的空间输运过程的辐射输运方程 的小平均自由程的扩散极限.为了得到辐射输运方程的小平均自由程扩散极限, 我们首先构造渐近展开的形式解,然后验证这些展开式的正确性.我们令小平均 自由程€趋向于零,极限方程的边界条件与原辐射输运方程的边界条件并不能匹 配.这就需要我们对极限方程的解加一个扰动项使其更接近原辐射输运方程的 解,这个扰动项就是边界层(混合层)函数(当极限方程的初始条件与原方程也不能 匹配时,就会出现混合层).通过渐近展开,我们找到扰动项的方程,对其进行求 解,再对扰动项进行估计,即可得到有界区域[0,1]上 当平均自由程趋于零时,非 线性输运方程的扩散极限.
第三章中,我们建立了出现在弦理论中正反膜系统的效用理论中的BPS涡 旋方程的解存在性定理和解的一些性质.我们首先将BPS方程化为R2上带有 Dirac质量源项的具有高度非线性的椭圆方程.然后利用了加权Sobolev空间的 技巧和变分方法得到一对上下解,最后用单调迭代方法证明了有界解的存在性. 此外,我们还给出了解在无穷远点的渐近估计.
第四章中,对规范场中出现的描述具有磁荷和电荷的经典激发的非线性场: Yang-Mills-Chern-Simons (简记为YMCS)模型,我们首先讨论了其数学结构,并 由此导出了它所对应的非线性常微分方程的两点边值问题;其次,利用直接变分 法证明了 YMCS模型局部涡旋解的存在性,并利用分析技巧研究了解的性质;最 后,利用比较原理建立了解在端点处的渐近估计.
第五章中,我们将对出现在现代几何光学中的非线性Schrodinger方程进行 了研究,建立了稳态方程涡旋解的存在性定理.首先通过约束极小问题,我们证 明了正径向对称解的存在性,并给出了波传播常数的下界估计.其次,我们利用极 小极大技巧证明了非平凡解(鞍点解)的存在性.
关键词:辐射输运方程;非线性椭圆方程;YMCS模型;非线性Schrodinger 方程;EPS方程;渐近展开法;变分法;上、下解方法;极大-极小方法;加权
Sobolev空间;渐近估计.
Abs tract
In this paper, we will use the asymptotic expansion method in the singular perturbation theory, the classical energy method and variational method (including the direc t variational method and the cons trained variational met hod), the method of upper and lower solution (also known as a monotone met hod), moun- tain pass lemma (also known as a min-max method), and the weighted Sobolev space technique, several kinds of equations from the field of modern physics are studied in depth. Specifically, the asymptotic limit problem of the mixed layer equations are studied by using the asymptotic expansion and energy method from the transport equation which arising from the radiation hydrodynamics. For the BPS vortex equation from the brane-antibrane effec tive t heory in st ring theory, comprehensive utilization of variational method, sup-sub solution method and weigh ted Sobolev method, the exis tence of the non to pological solutions and the asymptotic behavior at infinity are studied on the whole plane. For the Yang- Mills-Chern-Simons model(YMCS model) from the gauge field theory, we use the variational method and analytical technique to study the existence of the radial symmetrie solution and give the asymptotic estimation at the boundary point. Finally, for the nonlinear Schrodinger equation derived from modern optics, we study the existence of the vortex solution (including the saddle point solution) for the steady state equation by using the constTained variational method and mountain pass lemma.
This paper is divided into five chapters. In chapter 1, the physical background of the above four kinds of equations, the present situation of the study and the main results obtained in this paper are briefly introduced. For convenience, we also enumerate some of the knowledge used in this paper.
In Chap ter 2, we consider the diffusion limit of the small mean free path for the radiative transfer equations. To obtain the diffusion limit of small mean free path of the radiation t ranspor t equations, we firs t cons tract formal asymp totic expansions in the usual way, and then verify the validity of these expansions. We make the small mean free path e tending to zero. It is found that the boundary condition of the limit equation is not matched with the boundary condition of the original transport equation. It is necessary for us to add perturbation terms to the solution of the limit equation to make it more close to the solution of the original one, this perturbation terms are the boundary layer (mixed layer) functions (when the initial condition of the limit equation does not match the original equation, the mixed layer will appear). By asymptotic expansion, we find the equation of the perturbation terms and solve them. After estimating the peiturbation terms, the diffusion limit of the nonlinear transport equation can be obtained in the bounded region [0,1] when the mean free path tends to zero.
In Chap ter 3, we establish an exis tence t heorem and some proper ties of solutions for the BPS vortex equations, which arise in the effective theory of a brane-antibrane system in st ring t heory. We firs t t ransform the BPS equation in- to a highly nonlinear elliptic equation with Dirac mass source term in R2 . Then we use weighted Sobolev space techniques and variational methods to get a pair of sup and sub solutions. Finally, the existence of bounded solutions is proved by monotone iterative method. In addition, we give the asymptotic estimation at infinity.
In chap ter 4, for the classical excitation nonlinear field described in the gauge field with magnetic charge and charge: Yang-Mills-Chern-Simons (YMCS) model, we first discuss its mathematical structure and derive the two point boundary value problem for its corresponding nonlinear ordinary differential equation. Secondly, the existence of local vortex solutions of the YMCS model is proved by direct variational method, and the analysis t echnique is used to study the proper ties of the solutions. Finally, the asymptotic estimation at the end point is established by using the principle of comparison.
In chap ter 5, We will study the nonlinear Schrodinger equation appearing in the modern geometry optics and establish the existence theorem of the vortex solution of the steady state equation. Firswe prove the existence of the positive radial symmetrie solution by the constTaint minimization problem, then the lower bounds of the wave propagation constant are also given. Secondly, we use the minimax technique to prove the existence of the nontrivial solution (saddle point solution).
Keywords: Radiation transport equation, Nonlinear elliptic equation; YMCS model, Nonlinear Schrodinger equation, BPS equation; Asymptotic expansion met hod, Variational method, Sup-sub solution met hod, Min-max met hod, Weighted Sobolev space, Asymptotic estimation
目录
摘要 I
Abstract HI
第1章绪论 1
1.1前言 1
1.2问题简介 1
1.3预备知识 12
1.4本文主要研究内容 16
第2章 输运方程的小平均自由程的扩散极限 17
2.1模型 17
2.2渐近分析与边界层的构造 18
2.3能量估计 23
2.4渐近分析与混合层的构造 26
2.5能量估计 31
第3章 弦论中BPS涡旋的存在性 35
3.1正反膜效用理论中的涡旋和主要结果 35
3.2定理3.1的证明 37
第4章 YMCS模型局部涡旋解的存在性 53
4.1数学结构与主要结果 53
4.2主要结果的证明 56
第5章 非线性几何光学中涡旋解的存在性 63
5.1光学涡旋解的存在性 65
5.2鞍点解的存在性 72
结论 79
参考文献 81
攻读博士学位期间所发表的学术论文 91
致谢 93
Contents
Abstract in Chinese I
Abstract in English HI
Chap ter 1 Introduction 1
1.1Perface 1
1.2Brief Introduction of The Research Problems 1
1.3Basic Knowledge 11
1.4Main Research Contents 14
Chap ter 3 Diffusion Limit of Small Mean Free Path Transfer
Equations 17
2.1Model 17
2.2Construction of Boundary Layer Approximations 18
2.3Energy Estimates 23
2.4Construction of Mixed Layer Approximations 26
2.5Energy Estimates 31
Chapter 3 Exis tence of BPS Vor ti ces in St ring Theory ・・・・ 35
3.1Vortices in brane-antibrane effective theory and main results . . 35
3.2Proof of the Theorem 3.1 37
Chapter 4 Existence of local vortex solution for YMCS model 52
4.1Mathematical structure and main results 52
4.2Proof of the main results 55
Chap ter 4 Exis tence of vor ti ces in Nonlinear Optics 62
5.1The existence of optical vortex solution 64
5.2The existence of saddle point solution 70
Conclusions 77
References 79
Academic Paper Published During the Pursuit of Ph・D・ Degree 89
Acknowledgments
第1章 绪论
1.1前言
随着现代科学技术的高速发展和对自然界认识的不断深入,人们开始利用非 线性偏微分方程理论研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题.在航空航 天领域、半导体材料科学、天体物理、理论物理等领域中,许多问题都可以归结 为非线性流体动力学方程和量子场论问题.对具有鲜明应用背景和重要理论意义 的这几类方程的研究是当今国际数学界研究的主流之一,并且是其他自然科学和 工程技术部门研究的焦点和热点.因此对非线性流体动力学方程和量子场论问题 的研究,有助于加深对自然界中的非线性现象的认识和理解,有助于揭示各种非 线性之间的相互作用关系以及它们对解的性质的影响,从而推动各个学科的严格 化、精确化,进而推动科学技术的发展.同时,在研究过程中也将产生新的思想和 方法,这将促进数学自身理论的创新和发展.渐近极限问题和适定性问题是偏微 分方程研究中两个重要的内容,所以对这些问题进行研究,不仅能从理论上解决 问题,还能促进航空航天、天体物理、半导体材料等事业的发展.因此,本课题的 研究具有重要的理论意义和应用背景.
1.2问题简介
问题一:
流体力学在现代工程研究中有很重要的地位,是我们了解世界的重要手段. 它和我们的生活密不可分,污水排放,石油勘察,航空航海都需要流体力学的理论 和试验支持.辐射流体力学是描述热辐射在流体中的传播以及辐射对流体运动的 影响的学科.在温度不是十分高的时候,辐射过程只是传播过程的其中一种;但由 于在Planck分布中,能量是和温度的四次方成正比例,故在高温状态下,热辐射 对流体的运动有很重要的影响,甚至会和其他量相比温度占主导地位.
一般情况下:光子传输方程具有以下形式:
-dtI{v, Q) + Q • Q) + 篮他 Q) = S(o) (1-1)
c
+ / dvf [[二兀(/ t 6 Q/ • Q)/(/ Q/) — (/ t s Q • Q/)/(s Q)]dQ\
丿0 J4tt O
研究辐射流体力学首先要考虑光子和流体之间分子的相互作用.在辐射流体 力学方程组我们考虑三种基本的相互作用:吸收,散射和发射.把辐射看做光子 的总和,则可以用光子的分布函数/ = /(t, X, V, Q)来描述辐射,其中v是光子的 频率,Q是光子的运动方向.所以fdxdvdQ表示在时间t,空点位置龙附近的体 积微元dx中,光谱频段微元dv内,运动方向附近的微元dQ内的光子数.辐射强 度一般定义为
/(£ 龙:f, Q) = chvf(t, x, V】Q).
这其中c为光速,为Planck常数Q) = x, v, Q)表示自发过程的能量发 射率,篮3)=篮仏龙宀心0)表示能量的吸收系数,依赖于物质的温度和密度.
证附t • Q)=巫T • Q)是微分散射系数.所以易知,外散射 (outscattering)和内散射(inscattering)可以表示如下
/*oo p
outscattering = / dvr / 亚(。T / Q • 0)/(® Q)dQ[
Jo 丿 4tf
广OO f
inscattering = / dv / 巫s(〃 T。Q,• Q)/(® Q)dQ.
Jo 丿 4tt
辐射流体动力学模型一般形式为

dtn + div{nu) = 0,
< dt(nu + 1 耳)+ div{nu ® u + 刃3><3 + E) = 0, (1一2)
c
(—nu2 + Em + E『)+ div^—nu2 + Em + Er^u + Fr] — W,
其中(x,t) eR3x [0,T),T>0, u = (U1,u2,u3)t表示流体的速度,"表示外部 能量,Em和Pm分别表示流体的能量密度和物质的压力.为简化起见,在此只考 虑多方理想气体,即
Em = Cvn0, Pm = RnO,
这里冗、0分别表示流体的密度和温度,a > 0是导热率,R是气体常数,

7 = 1 +号是绝热常数.辐射能量密度码、辐射通量Fr和辐射应力张量Pr定
义为



关于流体运动状态下和边界作用的问题中,其中一个热点话题就是边界层 问题.1904年的国际数学家大会上,Prandtl做了关于“具有很小摩擦的流体运 动”的报告.他提出,围绕物体的运动可以分成两个部分,一是物体附近的薄层, 其中摩擦占有重要的影响;另一个是薄层之外的部分,在此摩擦可以忽略不计.那 么如何利用远离薄层时的有效的方程的解和靠近薄层时有效的边界层方程的解 去构造一个更一致有效的原方程的近似解呢?
输运方程初边值问题虽然形式简单,但求解起来非常困难.人们尝试用寻求 近似的问题的答案来解决这些问题.也就是说,我们不考虑原有的数学模型,而是 简单的考虑简化了某些条件后的输运方程的初边值问题,这种模型的解在某种意 义下是接近于输运问题的解的.这样我们就想到了利用扩散理论来近似困难的输 运模型.
我们来看下面的模型.在假设材料达到局部热力学平衡,并忽略物质运动和 热力扩散的情况下,空间中辐射输运可以表达为如下方程
dtu + -a)dxu + 冷u =(冷-(Ja)u + aav4, 相应的能量平衡方程为
标量密度为
有关辐射输运方程的近似模型和计算方法的研究中,首先,对于粒子输运问 题的非线性和线性Q权方法,2001年,Anistratov[2]得到了加权方法收敛速率的 最优值,并证明出非线性和线性方法的收敛速率是相同的,并且也得到了数值 结果.在辐射和介质间的线性相互作用的离散坐标模拟计算中,2002年,Adams 和Larsen⑴对基本的线性玻尔兹曼问题离散化迭代速率进行了提高,得到了该 方程的收敛性并用计算机进行了模拟.描述辐射场的传播的基本的线性辐射 输运方程的相关问题中,在具有初始-边界问题的非均匀介质中的输运方程中, 1975年,Habetler[12]推导出了适当的扩散方程的边界条件,然后对误差进行了估 计.1984年,Bardo/讨论了扩散近似与临界尺寸的关系,描述了输运方程的光谱 特性,并给出了扩散近似中出现的外推长度的数学定义.
由于该问题从理论上研究非常困难,所以相关工作不多.近年来,仅有两篇 与之相关的工作:郭和韩⑷研究了 R3中带有初始条件的方程(1-3)-(1-4)解的适 定性和初始层问题:
”(0卫。)=n°(x,lj), f(0, x) = e R3,uj e S2 G R3,
并且研究了 [0,1]上带有吸收边界条件的方程(1-3)-(1-4)的解的适定性及初 始-边界层(混合层)问题冋:
u(0, x, oj) = cu), v(0, x) = v°(x),x 6 [0,1], cj 6 [—1,1],
> 0,
U(t,x,aj)\x=1 = < 0.
在第二章中,我们将对一维有界区域上方程组(1-3)-(1-4)混合层问题进行研究, 并对误差进行能量估计.见定理2.1和2.2.
问题二:
弦论是现代理论物理学,特别是量子力学中的重要分支,它是在1968年由 G.Veneziano在寻找描述原子核内强相互作用力的数学公式时发现的.虽然在 这些年里弦论的发展经历了很多风波,但在近些年对于弦论的基本概念的界定 已趋于稳定.1994年,Seiberg-Witten理论将超对称和对偶性结合起来厲打同时 Witten系统研究了弦论中的各种对偶性.1995年Strominger发现Witten的结 果可以用以解释超弦中具有不同拓扑的空间之间的相变,从而把看似完全不同的 真空态联结起来,他使用了一种特别的孤子-三维膜.自此人们发现,弦论中所包 含的自由度远不止弦本身,弦只是一维的特例而已.弦论中很重要的一个成就就 是通过D-膜的概念对黑洞量子物理进行了研究分析.对这方面最早开始研究的 是Strominger和Vafa,他们从十维p-膜出发,通过维数约化得到四维黑洞,则可 以获得一个微观自由度已知的系统的描述,这样的一种策略可以用来计算黑洞 比商.对于可以在弦论中实现的黑洞,弦论既可以解释Bekenstein-Hawking ®公式, 也可以解释黑洞的霍金蒸发和更为细致的灰体谱.
拓扑孤立子一一它作为各种量子场方程的经典解是用来描述粒子(或类粒 子)的动力学行为的.从一维到四维分别称为磁畴(Domain wall)>涡旋(Vortex)> 磁单极子(Monopole)和瞬时子(Instanton).涡旋作为二维孤立子它在物理学的许 多领域都有重要的应用,比如,宇宙学、粒子物理、凝聚态物理、超导理论、超 流体和激光等等.
对这类方程的研究引出了对各种规范场方程的孤粒子存在性严格数学证明. 一个著名的例子,是对BPS方程中Abelian-Higgs模型涡旋解存在性的研究,这 个理论是由Taubes冋建立的•他将Abelian-Higgs模型的BPS方程化为带有指 数非线性和Dirac质量源项的二阶非线性椭圆方程.由于Taubes的工作,学者 开始对各种各样的理论物理中的涡旋方程进行分析研究.随后,大家研究的重 心集中在非阿贝尔旋涡中的超对称规范场理论研究工作上([40]」41]」48]」50卜[54], [61],[66],[67],[70],[72],[74],[91]).
由文献[68],在解只依赖两个空间坐标时,正反膜效用理论的能量密度为
£ 二佥/小"e~a^2\DkT\2 + 卜-WF(i + c|7T)%〃 + U(T) , (1-6) 其中F“是D-D膜上规范场的场强,k,j = 1, 2, Tachyon场的协变导数为
D.T = d.T - iA^T, (1-7)
是势函数.
利用
e~am2\DkT\2 = e-a|T|2|DiT + 血2洱2 - | (eWF - i) F12

+2%& {(e-a㈢-1)^^} (1—8)
和BPS技巧,重写能量密度(1-6)为如下形式
1 p 1 / 1 (a—6)|T|2 \ 2
"需/必「命加+ i/W + f (l + c呼)卜丁订厨) 哼}+®—豁券]• g
假设a, 6, c都是正常数,a > &,且skj ( fc, J = 1, 2 )是Kronecker符号.取
V(T)=吕厂可得到如下的BPS方程
D\T + iD^T = 0,
方程(1-10)类似于解析函数应满足的Cauchy-Riemann方程,因此T的零点是 孤立的且为整数重.也就是说,如果假设Qo是T的一个零点,则有局部表示
|T@)| = \x-p0\n°T](x\
其中n0>l为整数,而〃(对> 0是一合适的函数.用Z(T)表示T的零点集,即
Z(T) = {pi,P2,-..,Pn}, (1-12)
其相应的重数分别为ni,n2, - - •, nm.
由势函数V(T)的表达式可知,当|0 T do时它达到最小值.为此我们将考 虑方程组(1-10)-(1-11)满足零点集(1-12)和非拓扑边界条件:
|T| T 0C,当 |龙| T 0C时 (1-13)
边值问题.
接下来,在第三部分里,我们会对BPS涡旋方程在零集(1-12)中,边界条件 (1-13) T,由场态(匚4)所描述的方程解的存在性和性质加以证明和讨论.
问题三:
本段我们将介绍Yang-Mills-Chern-Simons (简记为YMCS )呻模型.
1. Yang-Mills理论简介
Yang-Mills理论是对带有任意Non-Abelian (非交换)李群G的规范场的统 称.在物理应用中取G = O(n)(正交阵群)或G = Ug (酉矩阵群)就足够了.
设0是取值于Rn或Cn的纯量函数,相应表示群为0(〃)或U(n).用f表示 Hermitian 转置或 Hemiitian 共辄,则 \(f)\2 = .
下面我们从Lagrangian密度出发来解释Yang-Mills理论.
―扣加心小—口创2). (I*
显然,若G是整体对称群,则(1-14)在变换0 t Q札3 e G)之下是不变的•但 若G中的元素Q依赖于时空中的点,即Q = 则(1-14)在上述变换之下就 不再保持不变了,引入规范导数:
刀屛—0屛+ 4屛, (1-15)
其中几属于G的李代数6于是,(1-14)中的动力学项畝0屛)(少小 变成 款刀屛)(DW)t.
作变换:
°(龙)T 0(%) = Q(龙)0(龙),T 4(”)= QA^Q-1, (1-16)
在这个变换之下,£ = 钿)t — u(妙鬥是不变的.
为了让动力学项中包含规范场4“ ,需要引入包含4“导数的二次项不变量. 考察由(1-15)式定义的规范-共变导数的非交换性
DpDu© — DQ 屛=(3卜 Ay — + [A^, A』)© (1-17)
其中[•,•]是0中的李括号或交换子.受此启发,反对称Yang-Mills张量F中可定 义为:
F中=%一 久4“ + [4灯 A^]. (1—18)
在变换(1-16)之下,F中服从于下面的变换:
t = d^Ay — dyA^ + [A^, A^\ = QF中Q". (1-19)
于是我们得到了不变量项押厂(耳』")•最后,我们导出了局部规范不变的
Lagrangian作用量密度
£ = $r(F严)+ 扣屛)0小—口甘). (1-20)
习惯上,称(1-20)为物质场0耦合一个规范场4“的作用量密度,也称之为 Yang-Mills-Higgs 理论(模型),相应地 Euler-Lagrange 方程称为 Yang-Mills-Higgs 方程.
如果忽略物质场© (1-20)就变成了
£ =扫(耳严), (1-21)
它就是我们所说的(纯)Yang-Mills理论(模型),相应地Euler-Lagrange方程称为 Yang-Mills 方程.
2. Chern-Simons 理论简介
为了简单起见,考虑(3+1)维规范向量场A = (Am)(M = 0,1,2,3),定义电磁 场张量 为 = d^Ay - dyA^ ,则可交换的 Chern-Simons Lagrangian 作用量 密度为
£ =比—A严=打捫PA仇Ap - A” (1-22)
其相应的Euler-Lagrange方程为:
(1-23) 其中gWPA仇Ap =討"卩人皿卩称为Chern-Simons项,卩是物质流.而刃"是反 对称Kronecker符号 满足s012 = 1等.
Lagrangian作用量密度中包含Chern-Simons项的统称为Chern-Simons理 论,对应的 Euler-Lagrange方程称为 Chern-Simons方程.
当规范群为U(N)时,空间维数d = 2 + 1的YMCS模型的Lagrangian密度 可写为
L =—占卩耳严—R严(必⑷-尹/几)+占T心屛)2
+ \D^ — d(0 — -壬口(側!—等—“2); (1-24)

曲率和共变导数的定义如下:
F[iv —。少卩—— i[AM, Ay]^
D 诅)=d/iQi —
当匕2 — 00时,Lagrangian密度(4.1)中的Yang-Mills项和包含0的动能项可以


+ B2) + —Tr ((Dq(^)2 + (刀&0尸)+ \D()qi\2 + \Daqi\2 + 於(0 _ m^qi + 扌帀@/ _ 勢 _ ”2)2},
这里 Ea = FOa, B = F12.
利用 Gauss 律:-缶£ + 专[(I)。©)/ — ©(Do©)'] + ^DaEa + 占[D。© 切=0, 当能量E达到下界时,我们可以得到一阶BPS方程组:
Dg 土 i°20 =0, (1-25)
B士如寄") =0, (1-26)
Z)o0 =0, (1-27)
Ea 干 D" =0, (1-28)
Doqi 干 i(Q — gqi) =0. (1-29)
正则涡旋的自然假设是:
q = diag[“i,〃2, • • • Qn(p)], (1-30)
其中谚三/ +晋,3(0) = 0.对(1-30)中的剩余场补充一致假设:
0 = diag[mi,m2, • • • ,mN + hN^p)\, (1-31)
= diag[0, 0, ••- ,n - aN(f (1-32)

Ap = 0.
为保证能量有限,边界条件取为:
a_/v(0) — ti,cl tv — 0,Qn(0) — 0: — 1,h — 0, (1—34)
在原点取有限常数.
a(丁) = aN(p), q(r) = Qn(p); h(r)=伽(几



相应的Euler-Lagrange方程为:
tK' + K = 2q2hr — -P^T^q2 — — 1),

Ta — a = 2q2ar^
Tq +q =嘉9胪 + ~ + 旷(『-h-1),
对应的边界条件为:
a(0) = n, a(oo) = 0, q(0) = 0, q(oo) = 1, b(0) = /i(oc) = 0. (1—41)
我们将对方程(l-38)-(l-40),边界条件(1-41)的两点边值问题研究其解的 存在性和渐近性.
问题四:
在非线性几何光学中,关于光学涡旋的研究也有相当长的历史了.早 在1964年,Chiao, Garmire和Townes卩°刀就解释了在一定条件下,光束可以形成 自己的波导管并传播下去.他们把所描述的自陷现象归因于光的传播材料,这是 因为材料的介电系数随着高强度光束,如激光,电场强度增大而增大•在这种情况 下,可以预测显著的光学和物理效应,进而暗示光学涡旋将会发生.自此,这种涡 
旋在众多的研究中被观察到,继而在理论和实验上成为研究的热点.光的传播作 为一种波可以用所谓的波函数来描述.在空间某些点处,消失波的强度和相位是 无法定义的.因此,Nye和Berry[1°3]认为,这种斑点对一般的波运动产生涡旋是 至关重要的,称之为相位奇点,也称为位错或波缺陷.它是涡旋的中心,在它周围 发生了能量的集中.
在光波理论中,涡旋是以涡旋线为中心,光波在涡旋线周围发生了扭曲.这 种扭曲是由涡旋线周围的相位模糊所造成,它是一个拓扑性质.扭曲的中心是涡 核,在那儿由于光波被抵消而导致黑暗.因此,当我们在与光束垂直的任何一个横 截面上测量光的强度时,显示的都是黑暗.光束的这种结构被形象地称为“螺旋 光束” •
在几何光学研究中,一个重要地、标准的做法是:光波用一个复值波函数来 表示,控制方程是非线性Schrodinger方程(组)•这些物理模型为我们数学工作 者提供了丰富的研究课题.在[104] + , Salgueiro和Kivshar提出了下面的非线性 Schrodinger 方程:
i 号;+ + (U + 衬训2)© = 0, (1—42)
其中,0是复值函数(光波的传播沿z轴进行),VI是关于平面坐标仗秒)的 Laplace算子,V是势函数,s = ±1分别对应于聚焦与反聚焦.
一个简单而重要的情况是允许势函数只依赖于径向变量,即U = V(r), r = 在这种情况下,人们希望找到(1-42)具有下面形式的〃涡旋解屮:
0 = 0(厂,0, z)="(厂疋("+0习, (1-43)
其中,r.O是平面极坐标,”(厂)是描述光波强度的径向对称函数,neZ表示涡旋 重数,0 &底是波传播常数.变换(1-43)描述涡旋波的中心围绕着z轴(在那儿 r = 0 ),并沿z轴传播.
将(1-43)代入(1-42)可得〃涡旋方程:
(rar)r — f — + ^r\u + r(V + su2) = 0, 0 < r < (1—44)

"(0) = = 0.
对边界条件(1-45)可作如下理解:在涡旋的中心,即r = 0处是黑暗的,因此 光波的强度可认为等于零,即7/(0) = 0;另一方面,由于在涡旋中心附近能量发 生了集中,因此在远离涡旋中心的地方,光波的强度也很小,近似地视为零,即 u(R) = 0.
在文献[109]中,作者分别利用约束变分法和山路引理证明了(1-44)-(1-45) 的〃涡旋解和鞍点解的存在性,并讨论了解的性质.
考虑下面的耦合非线性Schrodinger方程组 p込 i施 + = 1 + 明2 + |训2皿 6
改+ △詡=TT保知卫€呼'
札0是复值函数,只Q弄0是耦合参数.
引入下面的变换:
0(龙;z) = 0(匚仇 z) = u{r)^m0+^z\
相应地边界条件为:
"(0) = u(R) = 0卩(0) = v(R) = 0.
我们将研究方程组(1-50)-(l-52)的涡旋波解的存在性和鞍点解的存在性.
1.3预备知识
为了方便起见,下面我们将给出一些预备知识:重要不等式、变分法、加权
Sobolev 空间及 Trudinger-Moser 不等式.
1.3.1重要的不等式
(1)Young不等式m
1,称p.q是互为共辄指数,贝IJ
nP hQ
ab<- +〔. (1-53)
p q
特别地,当p = q = 2时,Young不等式称为Cauchy不等式或Cauchy-Schwarz不
等式
7 护 &2
ab < = + = •
-2 2
⑵带g的Young不等式卩口
假设 a> 0,b> 0,p > 1,q > 1,6 > 0, + * = 1:则
了 sap bqs~p
ab S + .
P Q
(3) Holder不等式⑷
设 p>l,q >1 且穆 + J = l,若/ G LP0\gW D(Q),则厂 g C 厶】(Q)且
(1-54)
特别地,当p = q = 2时,有

⑷微分形式的Gronwall不等式卩口
设朮•)是非负连续可微函数(或非负绝对连续函数);在t e [0,T]上满足
< 0(加(t) + t € [0,T],
其中,0(t)和e(t)是非负可积函数,则
r/(t) <抽⑻血
特别地,若z/(t) <如⑴』C [O,T],77(O) = 0,则在[0,T]上有朮t)三0.
⑸积分形式的Gronwall不等式"口
设虢)是[0, T]上的非负可积函数,对t C [0,71有
他 SC1「gds + 6
丿o
对某个CnC2 > 0成立,则
£(t) <。2(1 + CiteClf), a.e.te [0,T], (1—56)
特别地,若 £(t) < G *E(s)ds,则对 t e [0,T],则 £(t) = 0.
(6) Poincare 不等式m
设Q是底"中的有界开子集,3Q e C1 , 1 < p < oc ,则存在与u无关的常数 C = C(ng Q) > 0,使得对每一个函数u e W"(Q)
— "q||qp(Q) S C\\Du\\Lp,
都成立.其中,g表示u在Q上的平均.
1.3.2变分法
直接变分法是证明泛函极小解存在的经典方法.通常如果一个方程或方程组 是某一泛函的欧拉拉格朗日方程,而且能证明该泛函存在极小元,那么此极小元 满足这个方程,即是该方程的解.要证明泛函存在极小元,通常需要验证泛函满 足一些条件,比如:下有界,强制性.如果泛函还是严格凸的,极小元还是唯一的.
一般步骤是:
(1)选取合适的容许集%;
⑵证明泛函/(”)在A中有下界,对泛函下确界存在极小化序列仇机};
(3)证明极小化序列{“机}在某种范数下收敛于A中的一个元素u ;
⑷最后证明泛函序列的下半连续性,即:/(") <liminfZ(7im).
mToo
Palais-Smale条件 设X是Banach空间:I(u) E C\X, R).若对任意的 {um G X},满足I(um)有界,I\um) T T oo),则{um}必有收敛子列.这
时,我们称I(u)满足PS条件.
山路引理 设 心)e 叫,满足PS条件.若
(i)AO) = 0;
(ii)存在 p > 0,q > 0,使当 \\u\\x = p 时,有 /(") > q;
(iii)存在 u0 e X ,使得 \\u0\\x 二 p ,且 /(n0) < a.
记『={9 C C([0, l];X)|g(0) = 0,^(1) = "0}:则
t = inf max > a
^erte[o,i]
是泛函I的一个临界值.
1.3.3加权的Sobolev空间
由于后面的需要,我们引入加权的Sobolev空间及其性质.由5 e R和
s e N(非负指标),定义卬爲为C7®2)的有如下范数的闭包
iieii^ = E Ila + 罔严 5朋.
|«|<s
由加权Sobolev空间完备性理论,我们给出其如下性质.
⑴若 s>1,5>-1,有卬爲 U Cc(R2);
(2)若—1 < 6 < 0 , Laplace算子△ : T 是1-1的,且△的范围为
△(吩)={尸十胡/ =0};
(3)若有£ G X和△£ = 0,则£是常数
1.3.4 Trudinger-Moser 不等式
定义R2上通常的"空间为"(底2),其范数为|| - ||p •定义加权测度
d/i = Kdx ,利用L伽)表示诱导的空间.令
W = {we L2(R2)|||w||| = ||Vw||l + ||训;(如 < °°}・
则W包含所有的常函数,
w' = / wd/z = 0 j
是W的一个闭子空间.下面的不等式称之为Trudinger-Moser不等式:


这里
7 < min{47r, 2x(0 — 2)}, C = C{r) > 0,
则嵌入"T厶“g)是紧的.
1.4本文主要研究内容
本文由五章构成.第一章绪论,主要介绍辐射流体动力学发展进程,辐射输 运模型、涡旋的定义、弦论的发展、BPS模型、YMCS模型及光学涡旋模型的 相关研究成果和进展.
第二章中,我们研究了一维有界区域上辐射输运方程的边界层问题和混合层 问题.方程的解可以收敛到在参数6趋于零时的极限方程的解.
第三章中,我们建立了出现在弦理论中正反膜系统的效用理论中的BPS涡 旋方程的解存在性定理和解的一些性质.我们首先将该BPS方程简化为R2± 的多重指数的非线性椭圆方程,刻画了涡旋的位置.之后利用了加权Sobolev空 间的技巧和变分方法得到一对上下解,然后用单调迭代方法证明了有界解的存在 性.此外,我们还分析了该解的渐近性质.
第四章中,对规范场中出现的描述具有磁荷和电荷的经典激发的非线性场: YMCS模型,我们首先导出了它所对应的非线性常微分方程的两点边值问题;其 次,证明了 YMCS模型局部涡旋解的存在性,并研究了解的性质;最后,利用比较 原理建立了解在端点处的渐近估计.
第五章中,我们研究了非线性Schrodinger方程的稳态涡旋波解的存在性定 理.首先通过约束极小问题,我们证明了正径向对称解的存在性,并给出了波传 播常数的下界估计.其次,我们利用极小极大技巧证明了非平凡解(鞍点解)的存 在性.

第2章 输运方程的小平均自由程的扩散极限
本章中我们研究描述辐射在材料中的空间输运过程的辐射输运方程的小平 均自由程的扩散极限.通过渐近展开,我们证明当平均自由程趋于零时,非线性传 输方程具有扩散极限,并研究有界区域[0,1]中的边界层问题和初始-边界层(混合 层)问题.
2.1模型
本章考虑忽略热扩散和物质运动,并且达到局部热力学平衡的一维有界区域 上的辐射输运方程的渐近估计:
dtu H ^dxu H U = (— —(Ja)u +(TaV4^
e
dtv + 牛(0。4 —可=0,
5


u(t, X, CJ)表示在时间t > 0,位置X e [0, 1]的辐射强度,3 = COS0,0表示光子
辐射与X轴正向的夹角• c表示真空中光速.a = Cfa + CFs是输运系数,CFS > 0
表示散射系数;(Ja > 0表示吸收系数.-> 0是小平均自由程,0 > 0代表 a
Stefan-Boltzmann常数,v是材料温度,Ch > 0是伪热容.
接下来我们将分两种情况进行讨论.首先,我们给出如下的初始边界条件:
n(0, X, 3)= "°(龙):q(0: x) = (龙):龙 e [0,1],
[ AL(0\t = 0, 如(t。)|*o = <
I AL(t, > 0, cj > 0,
I 4r(o): t = o: Ur(D = "(£ 龙,3)|*1 = <
I 4r(£ 3),t > o, cj < o.
其次,我们会对带有另一种初值边值条件的方程组的渐近情况进行讨论:
7/(0, x,cj) = n°(x,cj), f(0, x) = (龙),龙 £ [0,1],
="匕龙L=o= > 0, CJ > 0, (2-8)
UR(t。) = 戊)3)\x=l= Ar&o)』> 0, CJ < 0. (2—9)
在两种情况里,我们均假设叭恥)> 0肿3) > 0,且血(2)> 0, AR(t,^ , 0分别表示光子从左边界和右边界进入区域.
显然,iz°, uL, uR满足如下的相容性条件:
"°(龙)1*0= 4乙(0),"°(龙)L=i=4r(1)・
接下来我们会讨论方程组(2-1)-(2-2), (2.4)-(2-6)和(2-1)-(2-2), (2-7)-(2-9) 的小平均自由程e的扩散限制.在第2-3节中,为了研究扩散极限,我们首先构造 渐近展开式,然后进行误差分析.为此,我们将"分为三个部分之和:"表示内部 区域,泌表示左边界层区域,“0代表右边界层区域.简便起见,我们只考虑靠近 左边界龙=0的边界层区域,靠近右边界龙=1的边界层情况处理方法是相同的, 我们将直接给出右边界层的方程.同样地,在4-5节中,对于带有初始边界条件 (2-7)-(2-9)的方程组(2-1)-(2-2),我们发现u被分为六个部分:u代表内部区域, 代表初始层,泌表示左边界层,IT8表示右边界层,""代表左混合层,严代 表右混合层.在此我们同样只考察靠近左边界龙二0的边界层和混合层区域,靠 近右边界%二1的情况可用同样的方法进行处理,我们也会直接给出右边界层和 混合层的方程.
2.2渐近分析与边界层的构造
本节中,我们主要讨论带有初始边界条件(2.4)-(2-6)的方程组(2-1)-(2-2). 首先,我们先将方程组的解的整体存在性作为引理2.1陈述.
引理 2.1 假设 u°, v° 满足(2.4), uL, uR 满足(2-5)-(2-6).令 0 < e C6(R+;L°°(0,l]), 0 < e a(R+;L°°[-l,0)), 0 < e L°°([0,l] x [-1,1]), 0 < 17° e L°°(0,l).则对任意T > 0,仏。)是带有初始边界条件(2.4)-(2-6)的方 程组(2-1)-(2-2)的整体解.此外,
u e C([o,T];L°°([O,1] X [-1,1])),!; e C([o,刀;厶°°(o,1)).

引S2.1的证明可以从文献[11]中得到,在此不多加赘述.
下面,当e t 0时,我们将对方程组(2-1)-(2-2)的解仏卩)进行渐近分析. 首先,令= Che.现在我们在自由光滑假设下构造了一个关于仏卩)的渐近展 开,然后对展开进行验证•引入变换
. x 1 — x
E = 一小= :
6 6
其中e表示边界层的厚度.接下来我们进行形式上的展开:
OO
"匕 x,⑴)=工y 仏匕 x,⑴)+ D] + g[u^也 〃。)]},
k=0

oo
讹龙)=工y%
k=0
其中才和g是(3d光滑的截断函数,满足/(0) = g⑴=1, f (1) = g(0) = 0.
为了得到关于误差6的渐近极限,我们令初始和边界条件同样满足O(e): n(0,龙。)=龙),°(0, x) = (龙):
0, cj) + 0, cj) = u(t, 0,3)= AL(t^ cj), (2-13)
"o(£ 1。) + Uq(£1。)= u(t丄 3)= AR(t,u).
将展式(2-ll)-(2-⑵代入方程组(2-1)-(2-2)并对6的各阶进行匹配,我们 可以得到内函数血边界层函数址和蛙•
首先,将(2-11)-(2-12)代入方程组(2-1)-(2-2),我们有
OO
"亿叱)=52^ [姒亿龙。)+谄匕&力)]
k=O
00 e2
=力[/血匕0。)+ 佩血仏0。)+严+比o,o?)
k=0
+毋讥(匚+』+4£毋血仏 0。) + +。(/+5呼)],
OO
呛龙)=力 如匕龙)
k=0
oo e2
=o) + ek+1^dxVk(t, 0) + 古+2 3护弧(仏 0)
k=0
尸3
+/十3石弘3%亿 0)+』+4刃3/4%匕 0)+ o(efc+5^5)].
首先,对0(严),。(厂1),和0(€。)项进行匹配,我们有:
au0 = crtZo, (2-14)
cuj3^Uq + auQ = crtZg, (2-15)
cudxUo + aui = aui^ (2—16)
+ au^ = cr 硏, (2-17)
dtu()+ cu)3xu\ + au2 =(ju2 —+ %0 讯 (2-18)
加0 + 才(0%° - W)= 0, (2-19)
5
dtUQ + cud^u^ + (Ju^ = cr 喝—%晞, (2—20)
昭=0. (2-21)
将(2-14)、(2-16)代入(2-18)并对(2-18)在[-1,1]上关于3进行积分,可 以得到
c2
dtuo —亍従 u° = o~a^VQ —(rauo. (2—22)
oa
由(2-15)、(2—21),我们有
如矢讥 + auQ = 0, (2—23)
易得
昭匕 & ⑴)=[AL{t. w)-沐t)]£ W (2—24)
接着我们对。(二)进行匹配,有
dtui + cujdxU2 + (ju^ = (tu^ —(raui + 4%0°制1, (2—25)
dt^i + 才(40。制 1 —取 1) = 0, (2—26)
5
仇谄 + CCdd^U^ + (Tl/g = CfU^ 一 (2-27)
接下来同样地,我们将(2-16)、(2-18)代入(2-25)并对(2-25)在[-1,1]上



其相容性条件为
ui(£ 0) |日=Ui (0, x) |*o = 0,
"1 亿 1) It—Q = "1(0;龙)|励=1 = 0.
利用(2-16)式,有
c
"i = —(jjdxu(). (2—31)
a
由(2-17) , (2—28)和 u^(t, 0, lj) = 0 ,可得
& cj) = u^(t, 0%—莎* = 0. (2—32)
最后我们对。宦)项进行匹配,
dtu2 + CCJ 爲"3 + OU4 = OU4 — CfaU2 + %0(4°和2 + 6 诟沂), (2—33)
dtV2 + g [0(4。和 2 + 6。討了)— u2] = o, (2-34)
dtv^ + C3矢讥 + CFU: = <7 苗—6 疋, (2-35)
疋=0. (2-36)
同样地,我们将(2-16)、(2-18) > (2-25)代入(2-33)并对(2-33)在[-1,1]上关 于3进行积分,有
dtu2 — —d^u2 + o血=—dl(aau0 - —d^.uQ - %0谄)+ 6%0诟沂 +
0(7 6(J 6(7
(2-37)
接下来利用(2-18),可知
"2 =乙2 (Oa0 说—^auO — — CCddxUi). (2-38)

又利用(2-20) , (2-21) , (2-36)和鸥亿 0。)= 0, (2-39)
讷(H) =—[dtAL(t,w) - 0血急. CCJ
同样,我们可以得到
=[4r(£3)—介0(t)]匕—釜 S (2-40)
"吕(切。) =(t, 0, c(j)e_^j77 = 0, (2-41)
=—[观 Ar(£") — 0血 o(t)]〃Q—莎", C(jJ (2—42)
== 0. (2-43)

下面我们用两个引理来陈述方程组(2-22)、(2-19)和(2-37)、(2-34)的解的 整体存在性和唯一性.
引理2.2令
W(0,龙)="°(龙)宀0(0,龙)=。°(心 (2—44)

u°l = "o(£ 龙)|*0 =莎o(t),"ok = "0匕龙)|*1 =介o(" (2—45)
且0 S別W £°°(0,1), 0 < u0L,u0R e闪心(展+),对于任意T>0,存在方程组 (2-22)、(2-19)的唯一解(珈卩0),其初值条件和边值条件由(2-44)、(2-45)给 出,使得
珈 e C(am°°(o,i))eo e …(心⑺;厶°°(o,i)),o s 珈 < w5,o< % < 如. 其中叽VOs是如%的稳态形式.更进一步,令G "4,00(0, J, °0 &胪3(0, 1) 和 U0L,U0R e "3,00(底+),有
d\d^UQ(t,龙龙)G C([0, T]- L°°(0,1)), VZ, m > 0,21 + m < 4,
命0匕 %)点需%o(t,讣护男%匕龙)e C([0, T];Loc(0,1)),
0 < Zi < 1, 0 < mi < 3, 0 < m2 < 2.
引s 2.3令

电厶匕 0)=莎2(t)忌R(tJ)=介2(t). (2—47)
满足相容性条件
莎2(0)= 0,介2(0)= 0.
令 0 s 汕 G 闪4,00(0,1), 0 < e iy3^(0,l), u2L 和 u2R 满足(2—47),且0 < u2L,u2R e胪,。0(底+).则对任意的T > 0,存在方程组(2-37)、(2-34)唯一解 (如宀2),其初值条件和边值条件由(2-46)、(2-47)给出并满足
励观亦0阿20紘2 e C([0,T];L°°(0,l)),
顾2,加2 e C([0,T];L°°(0,1)),VT e [0,OC).
引理2.2、2.3的证明同样可以从文献[11]中得到,在此不多加赘述.
2.3能量估计
下面我们在平均自由程6趋向于零时对展式(2-11)-(2-12)进行验证.为此, 令汕 C "3,00(0,1;厶oo( —1,])),别 & ^43(0,1), $€沖(0,1); “0肿畑% 满足 (2.4)-(2-6)和引理2.3的假设.令
6 = "o + + ?匕=+ +
= Uq + 胡 + /鸥,Uf = Uq + euf + e2uf,
£ = = 其中("oeo)的定义由引理2.2给出,且我们有
"0 e 0,心。⑵+応2([04]; e C([O,T];L°°(O,1)),
% e c3([o,t]; l°°(o, 1)) n c2([o,t]-w2^(q, 1)) n cx([o,r]; wz3^(o, i)), vr > o.
同时 Ui = —^cudxu()的定乂由(2—31)给出,= 0,
如 e nz,m>0,2Z+m<3C([0,T]; 1; 1))),
t逐如匕龙)e C([0, T];厶°°((0,l); £-(-1,1))), VT > 0.
同样,伍2卩2)是由引理2.3所定义的且有
込 e C([o,n; "2,00(0,1))n cx([o,T];L-(0,1)),
g e c([o,r]; Ty^°°(o, i)) n cx([o,r]; i)), vt > o.
同理可得,如由(2-38)定义,并且
"2 =乙2 + 2(%0谄—(TaU0 — dtU0 - C3久如):
(J
U2 e C([O, n; W24((0,1);厶°°(—1,1))) n CX([O, T]; L°°((O,1); 1))),VT > 0.
边界层讥 e Cx([0, oo);胪,。0((0 J); L°°(-l,l)))的定义由(2-24)给出;
鸥 e C([0,oo);iy3^((0,l); D°(—1,1)))的定义由(2-39)给出;
谓 e Cx([0,cx));iy3^((0,l); L°°(-l,l)))的定义由(2-40)给出;
调 e C([0, oo); 1); 1)))的定义由(2-42)给出.
简单计算得,
dtU^ -\ CudxU2 尹2 —(P _ 无)卩2 _ =hi — %0仏, (2-48)
diV2 + 7^(0匕4 _ 口2)
5 (2-49)
BtU? + -udxU2 + 巨 ug — (— — Oa)U打 =辰, (2-50)
dtUf + -udxUf + 冷财—(冷—皿
一 6 62 62 =h^-) (2-51)
其中
hi = e{dtux + c^dxu2 - 4%0谄5 + %衣Q +e2 [dtU2 —入0(4谓°2 + 6 诸讶)+ 入亦, (2—52)
h2 = €3(4v07;i + 12诟5°2)+ /(说 + 12% 喰 2 + 6 诟诚)+ 0(4。和 2 + 12170^1^2)
+66 (4170^2 + 6 讶诚)+ 4氏1 谓 + 68V2, (2-53)
h3 = 62(cra^2), (2-54)
仏=/(/观谕). (2-55)
令 ur = u — U^ — f^U^) - g(Ug)、°R = v — ^2, F = —hi + Cfaf3h2 — f (辰)—g(/i4) 且G =罟呃有
dt^R + - 3&xUr + -^Ur — (— — Oa^R — %0(。4 — V/) = F) (2-56)
e ez ez


下面,我们将证明当e T 0时,带有初始边界条件(2.4)-(2-6)的方程组
(2-1)-(2-2)的解仏 °)收敛于(6 + 几0) + g(U負 %).
定理2.1令Ch = Che.假设汕肿,0宀。肿满足(2.4),仏如满足(2-5)- (2-6), 0 < uL,uR e "34(底+),汕 e IV3^(0,l;L°°(-l,l)), n° e VK4^(O,1), $ e W3^(0,l).则当平均自由程e T 0 ,带有初始边界条件(2.4)-(2-6)的方程组 (2-1)-(2-2)的解收敛于(gvo).其中(u0,v0)是带有初始边界条件(2-42)-(2-43) 的方程组(2-22)-(2-19)的解.
更进一步,对任意的0 S t S匚 我们有如下估计
血別仏 + Mb <K-K^t) < C(u0,u0,v0,T)e, (2-58)
C是与e无关的常数,且有
1 rl i
Ki = exp{aaf3(l + —) [1 + 入(1 + —)t + (||训阻 + ||匕||號丿]}心.(2-59)
证明:利用特征方法,我们将方程(2-56)重写成如下积分形式
Ur£ X, 3)= x(t < 如)如0(%,方 w)E(t) + x(t > 如){x(3 > 0)URL(t - td)
+ x(cj < 0)uRR(t — td)}E(td)
+ [ E(t — S){(7a0(Q4 — + (p _ Oa)冠R}ds +
= [ E(t — S){(7a0(Q4 — V^) + (p _ aa)^Il}ds +
J t一tAtj
(2-60)

这里龙= X - fCJ, uR0 =如(0,龙。)=0, uRL = uR(t, 0,CJ)= 0, URR = uR(t, 1,GJ)= 0, E(t) = exp(-普),t Ntd = min^t.ta)且当 t < td 时%(t < 切 等于1,其他情况等于0 •

下面,对任意的T>0, 0<t<T,由方程可推出
II^IIl^ < T\\F\\l^ +「E(t - s)%创讪阻⑴训竺 + II^II^J3^
J t —
0.
+ / 日讪陆必 + / aa\\uR\\L^ds, (2-62)
J t—t/\t(i J t—
I曲I殓 < t\\g\\l^x + II^IIl-I ^~ds
+ |曲|乙第/ 卡瓠 + \\V2\\L^J3ds. (2-63)
由Gronwall不等式,
1 严 1
||"川| + ||讪| < Kexp{(ja^{l + —) j [1 + 入(1 + 耳)t+ (II训弦 + IMbffJ3]}"》 (2-64)
其中K = T\\F\\l^ +T||G||扇.这样,我们就得到了估计(2-58).
2.4渐近分析与混合层的构造
在本节中,我们着重分析带有初始边界条件(2-7)-(2-9)的方程组(2-1)-(2-2) 的渐进展开.首先我们先讨论当€ T 0方程组(2-1)-(2-2)的解仏°)的渐近分 析.同样设6 = Che .我们将在自由光滑假设下构造仏卩)的渐进展开式,并对 展式正确性进行验证.
引入变换:
(2-65)
其中62表示初始层的厚度,6表示边界层的厚度.首先,我们给出形式上的展开:
oo
U也 X, 3)=工y 仏匕 X, 3)+ u[{t,龙。)+ /K(t, & 3)+ 唸(厂 & 3)]
k=0
+ g减仇 z) +咁(S。)]}; (2-66)
OO
°匕龙)=工/%匕龙).
k=0
这里/和g均为C1光滑的截断函数,满足/(0) = g(l) = 1, /(I) = g(0) = 0.
为了得到关于误差6的渐近极限,我们令初始和边界条件同样满足0(6):
u(0, e) = n°(rr)?
Q(0: X)= 77°(X),
"o(0;龙:3)+ 龙;cj)=汕(龙:w),
u0(t, 0,cj) + 咗(t: 0。) = u(t, 0, e) = AL(t, 3):
"o(t: 1,3)+ Uq(£1。) = u(H) = AR{t, 3).
将展式(2-66)-(2-67)代入方程组(2-1)-(2-2)并对e的各阶进行匹配,我们可 以得到内函数如,初始层函数边界层函数谄和時,混合层函数 评 和ulB .
首先,将展式(2-66)-(2-67)代入方程组(2-1)-(2-2),我们有
OO
"亿 7 3)=工X[姒仏 2)+ %。) + 4(^ & 3)+ 唸(厂 & •)]
k=0
oo 2
=力[e%(0: Z)+ ek+2rdtuk<^,龙。)+ /+冷%(°,龙。)
k=O
丁3 丁 4
+/+6 曾姒(0, Q + /+8 观4姒(°,① °) * o(/+10&5)
o 24
“2
+ek+1^dxUk(0, 0。)+ ek+3r^dxdtUk(0, 0。)+ 6k+5-^-dxdt2Uk(0, 0。)
F丁 3 “4
+/十7 3/』姒(°, °, ©)* /+9 弘场4姒(°, °, Q + o(/+巴2丁5)
6 24
£2 丁护 £2 丁 2
+efc+2—<9^2^(0,0。)+ /+4-^-爲 20伽(0,0。)+ /+6^^爲包2 血(0,0。)
^23 尸2 4
+严8 -。/观3"上(0,0。) +匸「爲2 观4 血(0,0。) + o(/+i2£3t5)
尸3 丁尸3 ^3 2
+严3石必3"上(0,0。)+ /+'迈-3*3心(0,0, cd) + ek+7 dx3dt2Uk(0,0, cu)
尸3丁3 尸3丁4
+^k+9-^~dx3dt3uk(0, 0。)+ 6k+11^^dx3dt4uk(0, 0。)+ o(efc+13^4r5)
+严4备爲4血(0, 0。) + ^k+6~^dx4dtUk(0, 0。) + 6k+8^-^-dx4dt2Uk(0, 0, cv) 尸4丁3 左4 丁 4
+石^。/仇3"上(0, 0。) + 6k+12-^^dx4dt4uk(0,0, cj) + o(ek+14^5r5)
+0。) + /+1 佩讷(厂 0。) + 严»/讷(厂 0。)
+/+3名爲%(丁: 0。) + /+4备久(丁,0。) + O(€k+5^5)
t2
+/诩(0, & •) + /+2丁3誠(0, & cv) + ek+4z—-dt2u^(0, & e) t3 4
+/+6 石观 3 吆 © 仙 + 6fc+8-at44(o, +。(严吩)
+/唸(厂&3儿
OO
Q(M)=工扎 kd)
k=0
oo 2
=力[』4(0, %) + /+2 丁视 4(0, %) + /+42观2%(0, %)
k=0
+/+6:观3%(0, %) + /+*舟霄4(0,龙)+。(/+1吟5)
o 24
"2
+上(0, 0) + /+3£丁规3彷%(0; 0) + ek+5 —^-dxdt2Vk^^ 0)
+/+7竿久观%© 0) *冲和%© 0) +。(/+1屮孑)
+/+2占層4(0,0) + ek+4-^-dtdx2Vk(0, 0) + efc+6^ dx2dt2Vk(0, 0) +ek+8^-dx2dt3vk(0, 0) + ek+lo^-dx2dt4vk(0, 0) + o(6fc+12r5e3)
+』+3名久3。上(0, 0) + /+5_^凤爲34(0, 0) +,+7']2 爲。) +/+喀弘沁(0, 0) + ek+11^dx3dt4vk(0, 0) + O®+珥冬4)
+°)+ 必 44(。,。) + /+8^^-爲4凤24(0,0)
^■4—3 严丁4
+/十 0)+ 严爰価 4%(0, 0)+。(/+14 亡 5)].
144 576
首先,对0(厂◎项进行匹配,我们有:
au0 = 二(JU0) (2-69)
ccvd^UQ + (jUq - =圈 (2-70)
dTu[ + aul = =圈 (2-71)
dTU^ + C3 决谓 + (JU 罟= =au^. (2-72)
通过对0(厂1)项进行匹配,有
cudxu0 + aui - =cr?Zi, (2-73)


ccuOg 谄 + ou: = au^, (2-74)
dTu[ + cu3xUq + au[ = au{^ (2-75)
dTu^ + cujd^u1^ + cju1^ = . (2—76)
接着对0(€°)项匹配:
。與。+ cujdxu\ +(JU2 -
加0 + 才(0。04 — W)=
5 =皿2 — %百0 + 60诰
=0, (2-77)
(2-78)
dtu^ + C3矢鸥 + av^ - =CF疋-。减 (2-79)
苗= =0, (2-80)
dTU2 + cudxu{ +(JU;- =羁—%砒, (2-81)
從= =0, (2-82)
dTu^ + cujd^u^ + - =兄-入硝, (2-83)
忒= =0. (2-84)
匹配0宦)项,
dtUr + cujdxu2 +(ju3 = 血3 — %可+ 4%仇初1, (2-85)
dtvi + 穿(40。制 i —尬1)=
5 0, (2-86)
3胡+ C3矢讥+ au^ = 戒-CF减 (2-87)
= 0, (2-88)
dTu^ + C3&xu; + au^ = 屈-%砧 (2-89)
u[= 0, (2-90)
dTu^ + cujd^u^ + au^ = o碣-唄代 (2-91)
0. (2-92)
最后,对o(62)项进行匹配:

dtu2 + c3dxU3 + cm4 =(ru4 —+ %0(4q和2 + 6。細律(2—93)
B认 2 + 納 0(4。和 2 + 6。树)—u2] = 0, (2-94)
仇"纟 + ccuOg": + (ju^ =(7": -(Ja^2, (2-95)
疋=0, (2-96)
dTu\ + cujdxu^ + au{ = cfu[ — % 砒, (2-97)
砒=0, (2-98)
dTu^ + cujd^u1^ + cru1^ = (ju1^ — % 砒役 (2—99)
就=0. (2-100)
在第2节中,我们已经得到了 (1/0, ^0), (^1,^1), (^2,^2),唸"化 胡,转, (i = 0,1, 2)的值,接下来我们主要讨论屹u化u巴(/ = 0,1, 2)的值.
首先,由(2-71), (2-82),我们有
dTu[ + au^ = 0, (2-101)
故可得
z/q(t, a;)=["。(龙。)—iz°(^)]e_C7T. (2-102)
将(2-90), (2-102)代入(2-75),有
谄(丁,龙。)=cite_crT, (2-103)
其中 5 = J: M如汕(龙2)— n°(x)].
接着,将(2-82), (2-98) , (2-103)代入(2-81),有
= c2^2e_C7T, (2-104)
其中 C2 = J; cudx[u{(Q,x,u)].
由特征方法和(2—72), (2-84)式,可得
谓*3 = R0)-血(0。)]厂帀+證 (2-105)
将(2-92)代入(2-76),
& 3)= 0 • e~aT = 0. (2—106)
下面,将(2—84)、(2-92)代入(2-83):



类似地,我们可以得到



(丁) TJ)3)= 0 - e~aT = 0.
2.5能量估计
下面我们在平均自由程6趋向于零时对展式(2-66)-(2-67)进行验证.为此, 令 u° e VK3,oo(0,1; L°°(—1,1)), u° e w4,oo(0,1), v° e w3(0,1), uL, uR 满足
(2—7)-(2—9)和引理2.3的假设.
卩2 = "0 + + 匕=+ 切1 + &5、U: = U《+ €11; +
U:=讥 + eui + Uf = Uq + euf + dug、
uf = UQb + €U;b + G2"化 UgB = UqB + eu[B + gu屮.
t T 1 — 7*
其中T= ^ = -^= ——•这里(如%)由引理2.3给出,且有
6 6
"0 e 0,心o,2”qC([O4]; e C([O,T];L°°(O,1)),
% e c3([o,t];l°°(o,i)) nc2([o,r];w23(o,i))n^([o,r]; w3^(o,i)),vt > o.
Ui = —^(jjdxu()由(2—20)给出,Vi = 0,且
如 e nz,m>o,2z+w<3C([0,T]; 1; 1))),
t如匕对 e C([0, T];L-((O,1); L°°(-1,1))),VT > 0.
同样地,伍2®2)是由引理2.3定义,
U2 e C([o,T]; w23(o, 1))n cx([o,刀;沪(o, 1)),
V2 e c([o,r];iy1500(o,i)) n 小([04];厶°°(o, > o.
同理,”2由(2-27)确定,并且我们知道
"2 =乙2 (%0谄一— dtuO — C^dxul\
(J
血 e C([0, T]; W23((0,1); n Cx([0,刀;L°°((O,1); L-(-l,l))),VT > 0.
边界层讥 e Cx([0, oo);胪,。0((0 J); L°°(-l,l)))的定义由(2-24)给出;
鸥 e C([0, oo); WZ3^((0,1); 1)))的定义由(2-39)给出;
< e Cx([0, oc); IV3^((0,1); 1)))的定义由(2-40)给出;
uf e C([0, oc); W3^((0,1); 1)))的定义由(2-42)给出;
初始层 e 少([0, oo); TV3^((0,l); 的定义由(2-102)给出;
u{ e Ci([0g; W23((0,l);D°(—1,1)))的定义由(2-103)给出;
e Cx([0, oc); ^°°((0,1); 1)))的定义由(2-104)给出;
混合层 uf e Cx([0, oc);胪3((0 J); L°°(-l,l)))的定义由(2-105)给出;
谱 e ^([0,00); Ty3^((0,l);L°°(-l,l)))的定义由(2-108)给出.
经简单计算,
&出2 + ~oudxU2 + 二6 —(巨一入)卩2 — %0卩4 =辰 一 aaf3h2^ (2-111)
diV^ + 匕4 — UJ
5 先0人 (2-112)
0屈+ 汕硏+ 評—(占—几)鴛 =h3, (2-113)
BtUf + - 閃刀孚 + —(丐—(y(i)U 2 =^4? (2-114)
/T
凤% + -udxu^ + -[//
6 62 = (2-115)
BtUf + -udxU^ + 丐Uf
6 6Z =0, (2-116)
dtU^B + -udxU^B + 冷U严
6 6Z =0. (2-117)

其中,
hr = €(3阳 + avdxu2 - 和 1 + %引
+ e2[dtu2 — %0(4。和 2 + 6。討了)+(Jau2], (2—118)
h2 =兰(4坯谓+ 12诟Qi—) + g4(X + 12坯曲2 + 6诡诚)
+ 0(4。和2 + 12°0°1诚)+ e6(4170^2 + 6讶诡)+ 4氏1 谒 + 68V2, (2-119) h3 = /(闵讷), (2-120)
加=e\adtu^\ (2-121)
耘=€C3%U;. (2—122)
令 UR = U - U2 -氏-22 + U屮)-g(Ug + ua vr^v-V2, F = —h\ + cra/3h2 — f(/^3)— g(hj + 且G =蛍可得
dtuR H—3%ur H— Ur — (— — (ToY^r — %0(。4 —住)=F气 (2-123)
e ez e2
dtvR + 7^[0(。4 一 %4)—亦]=G. (2-124) 5
下面,我们将证明当e T 0时,带有初始边界条件(2-7)-(2-9)的方程组 (2—1)-(2—2)的解 仏。)收敛于(6 + 0 + 他 + U戸 + g(U£ + U沙 V2).
值得注意的是,本节中的F'等价于F +加(在第3节中,F是"的误差).显 然,当6^0,有加T 0,故收敛情况与第3节相同.
定理 2.2 我们令 Ch = CV.假设 uQ,vQ > 0, 满足(2-7) , uL,uR
满足(2—8)-(2—9), 0 < UL,UR e W3,oo(展+), “0 E 用3,00(01;厶oo( —1」)),u° e 胪4(0,1),泸w胪,00(0,1).则当平均自由程GT0,带有初始边界条件(2-7)- (2-9)的方程组(2-1)-(2-2)的解收敛于(如卩0).其中(仏坯)是带有初始边界条 件(2-44)-(2-46)的方程组(2-22)-(2-19)的解.
此外,对任意OR",我们有
II讪仏 + |闷|砖 < K • Kg < C(n°,u°^0,T)6, (2-125)
其中C是不依赖于e的常数,且
Kr = exp{aa(3(l + ^)/ 卩 + %(】+ ^)〃 + ("训阻 + 血“竺)3〕}〃: (2-126)
北京工业大学理学博士学位论文
第3章 弦论中BPS涡旋的存在性
本章我们建立出现在弦理论中正反膜效用理论中的BPS涡旋方程的解存在 性定理和解的一些性质.我们首先通过变量复化和正则化技巧将该BPS方程简 化为W上的多重指数的非线性椭圆方程,并利用Dirac测度刻画了涡旋的位置. 之后利用了加权Sobolev空间的技巧和变分方法得到一对上下解,然后用单调迭 代方法证明有界解的存在性.此外,我们还分析该解的渐近性质,得到原BPS方 程的解.
3.1正反膜效用理论中的涡旋和主要结果
本文的主要目的是建立由Suyama在文献[68]中导出的正反膜效用理论中的
EPS方程多涡旋解的存在性定理.由文献[68]可知,正反膜效用理论的能量密度
如下:
£ = ]乩 e~a^\DkT\2 + |e-6|T|2(l + c\T\2)FkjFkj + , (3-1)
其中F中是D-D膜上规范场几的场强,= 1,2, Tachyon场的协变导数定 义为
D.T = d.T - iA.T.
由下面的等式(见Suyama昭附录A ),
e~am2\DkT\2 = eWFQif + iD2T\2 - | (eWF — “ p12
+匚隔以{@-4叩-1)-. (3-3)
利用BPS技巧,我们可以重写能量密度(3-1)为如下形式
1 r 1 / 1 p-(a-6)|T|2
一莎/珀 "F加+ i/W + fTF(l +洞2)弘丁订冇 
这里用Kronecker符号% ( k,j = 1,2)来降低或升高指数,并且我们假设a, b, c 都是正常数,a>b.

又由=為厂爲第2可得如下的BPS方程
D、T + iD2T = 0, (3-5)
1 e-(«-6)|T|2
F12 - al + c|TP =°- (3_6)
方程(3-5)类似于解析函数应满足的Cauchy-Riemann方程,因此T的零点 是孤立的且为整数重.也就是说,如果假设Qo是T的一个零点,则有局部表示
1^0)1 = 3 —卩0『°〃(龙),
其中n0>l为整数,而曲 > 0是一合适的函数.用Z(T)表示T的零点集,即
Z(T) = {pi,p2,…伽}, (3-7)
其相应的重数分别为Til, n2, - - •, nm.
由势函数V(T}的表达式可知,当IQ T oo时它达到最小值.为此我们将考 虑方程组(3-5)-(3-6)满足零点集(3-7)和非拓扑边界条件:
|T| t oo,当圍 T oo时 (3-8)
边值问题.
本节的主要定理如下:
定理3.1在全平面R2上在(3-7)中给出的零集和边界条件(3-8)下,由场 态(T, A)所描述的BPS涡旋方程(3-5)-(3-6)总是有一个解.此外,解满足
|T|2 = 0(|创0), |刀1洱2 + \D2T\2 = 0(^0—2), (3—9)
其中|创适当大,参数0满足2 < 0 < 2〃 .
为了便于研究我们将变量复化,即令
z = x1 + irr2, d = — — i^2), d = — (9i + 02),A =人1 + 口2.
注意到dd =欽労+序)=松,则在远离T的零点集时BPS方程(3-5)-(3-6)变
1 1 e—川叩
4Aln|T|2 + aTTW = 0,
作变量替换71 = In |T|2将方程(3-10)变为如下带有Dirac质量源项的方程: e—(a—b)e"
△” =-入]+(快 + 4兀力如2(%),x & 底〈 (3—11)
2=1
其中入=扌> °・
边界条件(3-8)变为,当圍T oo时:有
(3-12)
在文献[68]中,作者利用数值方法研究了 a = b的情形,在此我们着重研究 a>b的情形.为此,令u = —o .则(3-11)-(3-12)变为
—(a—映-。
△o = A _r - (对,X e K2, (3-13)
丄十ce
i=i

V T —0C,当 \x\ T oo时. (3-14)
在下一节中,我们将利用泛函分析的技巧来求解非线性椭圆方程的边值问题 (3-13)和(3-14).需要说明的是,这是一个带有非拓扑边界条件、高度复杂的非 线性椭圆问题.因此,我们将在适当的权重空间里对此进行求解.
3.2定理3.1的证明
在这一节中,我们将通过以下六个步骤完成定理3.1的证明.
3.2.1方程的正则化与参数的范围
在(3-13)右端项的第一项中,分子分母分别乘以岀,则有
_(a_b)e_° _] o JL
=入1 + C-1呼 4兀刀% C4 龙 G r2 - (3—15)
首先,在t > o上我们需要定义一个光滑单调减函数p(t),即
lnt; t <1,
卩(龙)=\ 0, t > 1,
< 0, t > 0.


定义背景函数
n
"o(龙)=% (龙)•
则有
n
A i/o = 4?r 力 3Pj 0) — %
j=i
其中
n 广
9i =/ gidx = 47m,
且"o有如下性质:uq < 0,在R2\Qj中"o = 0,这里= U;=i氏(Pj)・
在上述准备的基础上,我们在(3-15)中作函数变换v =―皿+ V.则V满足
0_@_6)岀0_卩厂—lp—如+”
△心入 -^-4 91. (3-16)
1+厂匕―呦+u 7
注意到ew有有限个极点.取为G C°°(R2),使得
VI(龙)=—In \x\, \x\ > 1, x e R2.
和上面一样,我们有
[(―AVi)drr = 2tt. 丿欣2
取0 > 2,令K = e^.则U = 0兀+⑺将(3-16)变为
e-(a-b)euo-^vi~w c-lKew
Aw = A g, (3T7)
严+ c-rKew v 7
其中g = g、+ /?AVi是紧支集并满足



若参数0满足下面的要求
2 < /3 < 2n
我们将通过构造一对合适的上下解对来求解(3-17).
3.2.2下解和变分方法
在本小节中,我们将通过约束最小化的方法构建(3-17)的一个合适的下
解.
选择函数h e Cf°(R2)使得它与9在皿上有相同的积分:


我们可以假设 sup{e—(一沪。—} < M,
其中M〉0是常数.

首先我们考虑如下修正方程,
K pw
Aw = AM ———h. (3—19)
e 呦 + c~1Kew ' 7
下面我们将利用带权的Sobolev空间理论[59],这里引进权函数
K = e0% > 0, K = O(|创—0),0 > 2. (3—20)
定义酣上通常的LP空间为"(W),其范数为|| • ||卩.定义加权测度
= Kdx ,利用厶卩(d“)表示诱导的LP空间.
X = {少 w L2(R2)|||w||2 = ||Vw||2 + ||训|;(如 < x},
则%包含所有的常函数.显然
x = <w ex\ /
I JR
是X的一个闭子空间.回忆Trudinger-Moser不等式[59]
[e|w|d^ < C(7)el|Vw|l^47,w e %, 丿展2
这里
7 < min{47r, 2x(0 — 2)}? C = C(r) > 0,
则嵌入% —厶2(曲)是紧的.
下面,我们将通过求泛函的临界点来证明(3-19)解的存在性
| Vw|2 + XM ln(e"° + c_1Jfew) — hw >drc,
其中容许集为


其中C1,C2 > 0为常数.
证明 注意到supp(如)G Q心我们可将Z(w)重写为如下形式 e“o + c~1Kew\
1 + c~1Kew )' (3-23)
由于"⑴=再@ S 1)在t 2 0上单调递增,所以g(t) > 9(0) = a .因此有, 岀。+ c-K軒〉°如
1 + c~1Kew — 5
+ f ) >XM [ u0 > -q)
]+ c-lKew J -厶孑 °
其中Q有限.将上述不等式代入(3-23),我们有

另一方面,注意到
ln(l + c+e 鋼=0% + ⑺ + ln(cT + (眄 +诃)
且令 W = ln(l + c-xJfew),我们有
w = W-^V1- ln^-1 + e—(0%+诃)
因此,对于W ,由(3-24)我们可以导出
I(w) >- [ |Vw|2+AM [ W- [ hW+ [ b(0片)+f /Hn(cT +e_(0匕+诃)_6. 2 Jr2 Jr2 7r2 Jr2 Jr2
(3-25)


利用
1 + c~1Kew
和以下事实
CT耐)2 < / l + c~1Kew)_厶
c-、Kew
1 + c~1Kew
c~1Kew _ 2tt
eu0 + c-i = XM^2n —卩)
||viy||2 < ||Vw||2 + c.
对(3-11)应用上面的不等式我们知道,
IH > illVwlll + tl|Wl? + XM [ W- [ hW -Cr.
4 4 Jr2 Jr2
由于W>0,所以有"n需.因此由(3-26)可得,
1 1 r r
Aw)>-||Vw||2 + 利▽"IE + 入m/ ------ / hW-C,.
4 4 JR2 1 + H/ Jr2
回忆R2上标准内插不等式
(3-26)
(3-27)
/ W4 < 2 W2 |VW|2,
Jr2 Jr Jr2
注意到h具有紧支集,利用(3-28)式可以得到下面的估计
(3-28)
/ hW <||^|||||^||4
7r2 3
<e||IV||2 + C(s)||Viy||2 + C
+ 吕+ C(弘
其中£ > 0适当小.再次利用(3-28),有
Fw(i + w)w)2
(3-29)
因此,
ll^ll
^i^wbw+wr
< 2 [咼(/胪+ 2 /胪/ |▽屮
JR2 1 十 W 屁2 JR2 JR2
11^112 <1 +
[爲+问
(3—30)




































将(3-29), (3-30)代入(3-27),我们可以得到泛函I的下界估计:
W > |l|Vw||l + C^HVWIII + L - % (3-31)
其中C1,C2 > 0为常数
引理3・2极小问题

有解.
证明令{w3}为(3-32)的极小化序列,并设
Wj = ln(l + LK严)J = 1,2,- •
则由(3-30)和(3-31)可推出{Wj}是L2中有界序列.此外,由(3-26)式和{兀} 在L2中的有界性,我们推得{W3}在L1上也有界.又由(3.31)我们看到{VwJ 在厶2中有界.
将吗分解成下面的形式
Wj = w_j + Wj, w_j e R, Wj e x .
我们先证明{型}在R中是有界序列.注意到如S 0和supp(”o) u Q厂有
几S/(吗)
1 r puo I r-i 只严 r
=訓▽吗腥+入M||兀+ XM L In ( ] +厂1屁吗)—L ^Wj s訓▽吗IE +入切|眄|1 —型J h_ [ hwj.
JR2 JR2
应用Poincare型不等式[59]:
I w2d/d < C / |Vw|2, w e x\
R2 7r2
可得



这表明{乌}上方有界.

(3-37)
其中CUC2 > 0为常数.在(3-37)中应用{||Vwj||2}的有界性,可知他}下方有 界•总乙(3-32)的极小化序列仙}对应的序列他}有界.
再由(3-33)和{||▽吗||汀的有界性,我们知道x在{";}中是有界的.不失一 般性,我们假设在X中,{吗}弱收敛于”.由于嵌入X —厶2(M)是紧的,所以 {wj}在L2(d/z)中强收敛于w .
最后我们验证满足容许集A约束条件.
对任意£>0,取九入…伽的开邻域2使得|Q| < f,则有
f c_1/CeWj' c~1Kew
Wj ~ JR2 e“o + c-'Kewd ~ e"° + c~1Kew
_ Jq ewo + c~1KewJ — euo + c~1Kew + 丿朋\° eu° + c~1KewJ — en° + c~1Kew
(3—38)
在上式中令j T oo,我们有
即w0 = 0.这表明,约束条件确实满足.
此外:由Lagrange中值定理,我们知道
I |ln(r° + LKe 巧-ln(『° + c—iK出)| R2
< /
Jq

这里£取值在w和Wj之间.
上面的估计式类似于(3-38)可以得到.因此当j T oo时,有© T 0 .由上
可知泛函/(•)在x上弱下半连续,且有
I(w) < lim infZ(wj) = r0
0TOO
和we A.换句话说,w是(3.32)的解.
引理3.3由引理3.2所得到的极小化问题(3-32)的解⑴是方程(3-19)的解. 证明 由Lagrange乘子法,存在入W惡;使得
(DI + 劝丿)(诃=0, (3-40)
其中丿是约束条件.展开(3-40),有

(3—41)
其中入G底而£ W %是试验函数.在(3.41)中取£三1 .由/的定义和weA.易
得A = 0.将》=0代入回(3-41)中,可知w是(3-19)的弱解.利用椭圆正则性
理论,我们知道w是(3-19)的经典解.
引理3.4对足够负的H < 0,则方程(3-17)有下解w_且在R2中满足
w_ < c.
证明考虑线性方程
Aw = h — g.
显然,在容许集X中泛函J(s) = ^2{||Vw|2 + (b - g)w}的极小化变量wi是方
程(3-42)的唯一解.
下面我们证明在无穷远处趋向于常数.
为此,我们引入加权Sobolev空间及其性质.对6 G底和s G N(非负指标), 定义“訂为C7(底2)在如下范数的闭包
neii^ = En(i + 圍)*中临.
|q|Ss
由加权Sobolev空间的完备性理论,我们直接给出如下三个事实[59].
引理3.5⑴ 若s > 10 > -1,则卬爲G Cc(R2);
(ii)若—1 < 6 < 0, Laplace 算子 A: W^6 T W^6+2 是 1-1 的,且有
△(“爲)={F € “爲+J / 尸=0};
(iii)若有£ G x和△£ = 0,则£是常数.
我们继续引理3.4的证明.
对任意0 > 6〉一1 ,则b — g W厶«底2)q卬訂+2(皿)且人2仇—g) = 0.由 引理3.5的⑴和(ii),存在元素£ e W^6使得$ = h — g且无穷远处£ = 0 •特 别地,£ e L2(d〃).然而,由▽£ c用备+1和6 > -1,我们知▽£ e L2(R2).所以 (E % .又由£ — siCx和△(£ — si) = 0 ,利用引理3.5 (iii)可知,£ — wx为常 数,故wx在无穷远处趋向于常数.
记w2是上面所得到的方程(3-19)的解,我们将证明w2在无穷远处有类似 地渐近行为.事实上,若用F表示(3-19)式右端的函数,则有fR2F = 0.此外,由
Q满足supp(uo) C Q我们还有:

其中
Co = sup{K(龙)(1 + I 讦+2)2}
有界.若2(6 + 2) </3,显然,可以取
3 一 4
所以F G卬為+2・由引理3.5⑴和(ii),存在< C用訂,使得= wx的讨论可知C - w2为常数.故w2在无穷远处也趋向于常数.
由于W!和w2均有界,所以我们可以选取常数C>0,使得
W—三一 C) + W2 < c < 0,且.Wi 一 C < 0.
进而,由于函数
c—'Kg
G(t)= ― eR
')严 + c-】Ket
单调非减,我们有
G(w_) = G(wx — C + w2) < G(w2).
由(3-19)和(3-42),我们有
△s_ = XMG(W2)一 g
> AMG(w_) -p
、^e-^-b)euo-^~w- c-lXew~
- e"° + c-'K 岀-
这表明w_是方程(3-17)的一个下解.
3.2.3上解的存在性
为了得到(3-17)的非负上解,将加权空间x微调为
% = <(»2)|l|w||| = IlVwllf + ||训;2(如 < +oo}
显然,XGX.考虑下面的线性方程
Aw = -g,
其中9 = 91 + 易知(3-44)在%中有解,记为w,不妨设w >
这表明w+是(3-17)的一个上解.由w+下方有界,我们可以设w_
3.2.4有界解的存在性
在这一节中,我们将证明(3-17)的解在w—和w+之间.


令 Br = {xe R2
\x\<r}.首先我们证明如下边值问题

(3—46)




w = w+, x 6 dBr^
有唯一解满足< w < w+,其中厂〉\Pj\ (J = l,2,-..,n).
为此,我们构造标准的迭代格式


—CoS—1 — g^x E Br^
wn = w+, x e dBr^


(3—50)
其中Co > A(M(a - 0c-1 +寻).下证(3-48)-(3-50)定义的序列{wn}满足下面
的单调性质
W- < • • • < Wn < • • • < W2 < W1 < w+.
(3-51)
我们用归纳法证明(3-51).
由于si满足方程
Awi — Cowi
入0_@_河0_0巾7 + 厂虫岀+
e"° + c-i7<ew+
—Cqw+ — g>
并且方程右端属于L\s > 2),所以wi e CljQ(Br)(0 < q < 1).注意到wi < w+ 在Q = {九临…伽}附近.而在耳-Q中:有A(wx - w+) > G0(wi - w+).所 以由极大值原理可知处处成立wi < w+.





















另一方面,由于
(△- C0)(w_ -讪 > 入才―~一祐券莎 一小―話笞扫_ c°(—+)
c^Ke^e110
(e”o + c_17<e^)2
'/X ( M(d _ b)c i + (w_ _ w_|_^) _ Cq(w_ _ w_|_^)
_ &)c_1 + —— Co (w_ — w+) > 0.
这里和后面,£代表中值定理的中间量.所以再次利用极大值原理有W- < wx.
假设对A; > 1,我们已经建立了性质:w_ < wk和wk < wfc_i ,
(△ — Co)(w+i — W)2 [入(M(a — b)c_i + —) — Co](叫—叫—1) 2 0, 所以wM1 < wk.更进一步,我们知道
(△ — C())(uj_ — w^+i) > [A(M(a — &)c_1 + —) — Co] (w_ — w^) > 0, 可推知w_ < wk+1.这就完成了 (3-51)的证明.
注意到w_的有界性,我们可知极限
w = lim wn (3—52)
moo
存在.令(3-48)中/I T oo并由椭圆的嵌入定理,可知(3-52)的极限是强意义下 的,所以力是(3-46)和(3-47)的光滑解.并且还满足w_ < w < w+.
用 wm 来表示(3-46)和(3-47)在 r = m 时的解,其中 m > \pj\, (J = 1, 2, • • •, n)是整数.由于在dBm上,wm = w+ > wm+i,所以我们从△(3rn — wm+i)=
— wm+x)(D(x) > 0), Bm中同样有wm > wm+1成立.因此,对每个给定 的m0 > 1可知,在Bmo中有单调序列
Wmo > Wmo + 1 > …> UJm> …〉W—.
这表明,在R2上序列{⑺尬}收敛于方程(3-17)的一个解,记为w,并且成立 W- < w < w+.
3.2.5渐近极限
在本段中,我们将研究方程(3-17)的解在无穷远处的渐近行为.
首先,我们证明上面所得到的解wey.为此,取截断函数“ e 如下,
o,圍 > 2,
朮龙)=1, 圍< 1,
光滑,其它,
令 T]p(x) = Tj(p (p > 0). T]jw 并分部积分,得
r r p-(a-b)euo-^vi~w -1 w
L 讣训2 = "2 L WE • W— 入—凸+c-K创—
(3—54)
然而,由%的定义有



有 |▽训 e L2(d/x),故 w e x-
引理3.6对上面的解©成立
=0.
证明由上面定义的截断函数%,有
V?7pVw




-C(Z<N<2p
令p T oc,我们得到fR2 Aw = 0.
J p<\x\<2p
|▽训沪
仿照引理3.4的证明,利用引理3.6,我们可以证明w在无穷远处趋向于常
数.下面,我们证明在无穷远处djW T 0, = 1,2).由(3-17)可知,
△如)
c 1(a — b)eu°
入e-b)严一眄〜(c亠2_0丿严 cTKe呦出
(e 呦 + c~1Kew (e 如 + c^Ke^2
+ /3djV± — djU^)
~dj9
c 1(a — b)eu°
=入e—(宀啊仔…(c飞…丿严 c-K严出 )
\eu° + c~1Kew (euo + c~1Kew)23 J
+入f + , 5;了 J 佝刃)+ p, (3-58)
\e“o + c~1Kew (严+ c—iK创尸丿*丿丿力' ) 其中0有紧支集.现在我们说明(3-58)的第二项属于L2(R2) •事实上,我们有
[-b)严—心〜(cT(g —耐岀。 c~1Keu°ew V(dv y
人 2 \严 + c~1Kew (严 +(:-広创)2 丿 1 3 1}
< (c-x(a — b) + 爲2 [ e-气辱尸
2 Jr2
" + C2 [ e—2(宀心―时〜耳
J\x\>i \xr
广OO 1
S Ci + C2 / e~°^-dr
Ji
< oo,
这与我们的断言一致.这里我们用到了 “°和w的有界性.
前面我们已经证过dgw e L2(R2).再在(3-58)中应用L2估计可知djW e 吟(展2).特别地,djW t 0 (当 |x| T oc).
3.2.6原场构件的恢复
设3为(3-17)的解,则用变换v = -u0 + 05 + ”可得(3-15)或(3-13)的 解.再利用w的性质可得下面在无穷远处的渐近估计:
-uo~\-(3vi+w
0(|龙厂0).
(3—59)




































进而:由关系式U = —V ,我们有
u = O(ln |创0)当 \x\ T oc. (3-60)
应用标准方法
] n
T(z) = exp [尹(z) +i0⑵0(z)=-力 arg(z-以 (3—61)
i=l
Ai(z) = Re{2i31nT(z)},A2(^) = Im{2iOhiT(z)},
可得到方程组(3-5), (3-6)的解gA).再由(3-59),我们可以建立定理3.1中所 描述的渐近估计.
第4章 YMCS模型局部涡旋解的存在性
对规范场中出现的描述具有磁荷和电荷的经典激发的非线性场:Yang-Mills- Chern-Simons (简记为YMCS)模型,首先讨论其数学结构并由此导出了它所应的 非线性常微分方程的两点边值问题;其次,利用直接变分法证明YMCS模型局部 涡旋解的存在性,并利用分析技巧研究解的性质;最后,利用比较原理建立解在端 点处的渐近估计.在第1节中,我们将介绍YMCS模型的数学结构,并由此导出 它所对应的非线性常微分方程组两点边值问题.最后给出本文的主要结论(定理 2.1和定理2.2 ).在第2节中,我们将给出主要结果的证明.
4.1数学结构与主要结果
对 由 M.Buck, E.F.Moreno 和 F.A.Schaposnik 提出的 Yang-Mills-Chern- Simons (简称YMCS)模型当规范群为U(N)时,空间维数d = 2 + 1的 YMCS模型的Lagrangian密度可写成
1 K 2i 1
L = --^TrF^F^ — (^A^d^Ap — —A^A^A^ + —Tr(DAt^)2
+ \D^ -机-rriihi — - - 庐), £】)
其中©是标量,Nf是味指标(z = 1,2,-.. \每一个©都能在规范群U(N)
的基本表示下进行转换,0是自伴实标量.4“是在U(N)的李代数中取值的规范 场,即几=A^tA,其中tA = [tAYb是带有标准化TrtAtB二晋的U(N)生成 元(A=l,2,.-. ,A^2-l;a, & = 1,2,.-. 曲率和共变导数的定义如下给出:
F中=— — 4儿 (4—2)
D屛=一仇 (4—3)
D^qi = d^qi — (4-4)
其中[•, •]是李括号;当TV > 1时,Chern-Simons系数> 0为整数;是质量.
由于当€2Too时,Lagrangian密度(4.1)中的Yang-Mills项和包含»的动 能项可以去掉.对纯的Yang-Mills-Higgs系统,无论是交换的情形([53],[54],[105]), 还是非交换的情形([105],[107])都有
lim 庶皿=0] = ^-(|©F —少2)2尬|2, (4—5)
“too Kj
其中V是六阶势函数•于是,(4.1)建立了 Too与之间的联系,即
E = j d2x7})o
=/ 心{存讥 + B2) + 士 7V((Do。)2 +(%)2) + 卩。剧2 + \DaQi\2
+ d(0 — ®)20 + —蟹—“2)2}, (4—6)
这里 Ea = F.a,B = F12.
利用BPS技巧可知,(4.6)式的能量下界为哂:
E >忖肿+力Q川, (4-7)
i
其中 n = 厂 / d2ruB 是涡旋个数;Qi = if d2x(^D0^ -(刀00)%)是 Noether 荷.
当能量E达到(4-7)中的下界时,我们可以得到一阶BPS方程组:
Dg 土 iD2qi = 0, (4-8)
B 土才(g显—等 _ 庐)=0 (49)
皿=0, (4-10)
Eq 干 DM = 0, (4-11)
D()qi 干 i(0 — TYiiqi) = 0. (4—12)
需要指出的是,我们在推导BPS方程组(4-8)-(4-12)时用到了下面的Gauss 律[105] [106].
AC i 1 j
—石£ + - [(Do0)d — 0(。0©)卞]+ ~^DaEa + — 切=0. (4-13)
为了避免奇性,正则涡旋的自然假设是:
q = diag %,--,加护°3(別, (4—14)
其中谚三z/2 +晋,3(0) = 0.对(4-14)中的剩余场补充一致假设:
0 = diag[mx,m2, • • • ,mn + (4-15)

= diag[0,0, ••- ,n- aN{p)],
Ap = 0.
为保证能量有限,边界条件可取为如下形式:
Qn(0) = ® gn(x) : 0, qN(fi) : 0? Qtv(cxd) = 1, ZiN(x) : 0,
而hN在原点取有限常数
为了方便起见,记
9 9
n _ "谥"-尺 p = o 、 7 = o__r
22冋备

认丁) = Qn(p): q(丁) = Qn(p); h(r) = yhN(p\
其中丁 = 于是Yang-Mills-Chern-Simons模型的能量泛函在N = Nf (这种
情况通常称为局部涡旋)情况下,可写成:
E = £ J rdr (^{h')2 + (a)2 + ^Q2h2 + 2^a2q2 + 2/3(^)2 + ^(q2 — h — l)2^.
(4-21)
相应的Euler-Lagrange方程为:
rh,f + h‘ = 2q2hr — -/372t(q2 -h-l\ (4—22)

ra — a = 2 孑(IT】 (4—23)
rq +d =与M2 + + 0(Q2 — 〃 一 1), (4—24)
Yp t
对应的边界条件为:
a(0) = n, a(oo) = 0, q(0) = 0, q(oo) = 1, h(0) = b(oo) = 0. (4—25)
注 这里将h在原点的值取为h(0) = ho>0是为了数学上证明方便.事实上,
由正则涡旋的自然假设:b在原点的取值只要是一个有限常数即可,即加0)是自
由的.物理学家习惯于取b(0) = 0.
本章的主要结论为:
定理4.1 泛函(4-21)存在有限能量的临界点(h卫小 而且该临界点满足 方程组(4.22) —(4.24)和边界条件(4-25).进而a(r)在(0, oc)上严格递减,q(t) 在(0, 6)(6 > 0)上严格递增,且 0 < a(r) < n, q(r) > 0, h(丁) < /z0, Vr > 0.
定理4.2对解(hgq*有下面的渐近估计:
a(T)=冗 + 0(严),q(T)= O(rn_£), 丁 T 0; (4—26)
a(r) = 0(厂"(IT。q(T)= 1 + 0(厂
h⑺=卵沙〉r^oc, (4—27)
其中a G (0,1], s > 0充分小,0, 7由(4-19)式给出.
4.2主要结果的证明
下面我们通过4个引理来完成定理4.1的证明.
4.2.1定理4.1的证明
选取容许集
A = {仇a, q)\h, a, q在(0, oo)上连续;在(0, oc)的任一紧子区间上 绝对连续,且满足a(0) = n, a(oo) = 0,q(0) = 0,q(oo) = 1, h(oo) = 0 和 E(h)a, q) < oc}. (4-28)
需要说明的是,在容许集A中并不包含自由端边界条件h(0) = h0.
下面考虑极小问题:
T]三 infa,q) | (/z,a,q) G >!}. (4—29)
设{(怂卫初乐)}是(4-29)的极小化序列.不失一般性,我们可以假设:
E叽 ak,qk) < 〃 + 1, fc = 1,2, • • • , (4—30)

0 < a的)< 0 < Qfc(r) < 1, 0 < hk{r) < h0. (4-31)
否则,我们可以调整极小化序列使其满足(4-31)而不使能量变大.

由Schwartz不等式;我们有
-n\< |a:(p)|dpS (/ P"p¥( J。dp)彳



ZOO
|q:(p)|m(p) — !|dp <2 j |q:(p)| 皿(p) — l|dp
|以(P)|阮(P)— h(p) - l\dp
t(/ p(g:(p)-仇(p)_ 1)切)2(/
< Cr-1(7/ + 1),
其中C > 0不依赖于k.由(4-32)和(4.33)知,当丁 T 0时,a的)一致收敛于 n ;当丁 T oo时,$认丁) 一致收敛于1.
由上可知,存在充分大的丁0 > 0;当T > To时,可使qk(r) > 于是,有
Zoo 隊(P)|IMP)5 < 2r
< 8厂1( / pq钦T)h钦T)dp
< + 1),
其中C > 0不依赖于k.由(4-34)可知,当丁 T OO时,怂(丁)一致收敛于0.
由能量泛函(2-21)式易知,(加以似)在0N&N+中有界.再 由弱紧性,存在叽% qk)的子列(仍记为它本身)在呻(牯n)中弱收敛.根据 对角线选取法则,存在函数(hqq) e Wc1?2(0,oc),使得
Hm 叽 ak, qk) = (h, a, q). (4-35)
上TOO
由紧嵌入定理,叽ak, qj在C[影N] (N = 12…)中强收敛于(心a, q\因此, 仇a, q)在[0, oc)上连续并满足(4-31).
为了说明(h,a,q) e A,我们还需要验证a(oo) = 0, q(0) = 0.下面通过两个引 理来验证之.
引理4・1加⑺=0.
证明 断言:liminf = 0 .若不然,不妨设 lim inf = c > 0,则
ttO 丁 tO
35 > 0,对于任意满足0 < ry < 6的rj,有lim = c > 0.由此可知,当
ryTO
Tj > 0充分小时,引/⑺)1 > f •由连续性可知,|/(丁)| >詁 于是,有
[2/3p|g(p)|2dp > [ 2/3p\q(p)\2dp > / — = oc,
Jo Jo 2 Jo P
这与能量有限的假设矛盾,故断言成立.
取序列{Tj}满足Tj T 0(J T oo),利用Euler - Lagrange方程有
皿…”鈕卄)
=lim [ (pq'dp
JTOO JTj
=[(pqjdp
Jo
=/ {嚳 + 宁 + 皿『一-1)}">0.
由此可见,在(0,5)内,d(r) > 0.也就是说,q(r)在(0,5)内是增函数.注意到 0 < q(丁) < 1,极限lim q(T)存在.类似于本引理断言的证明可知Jim q(丁) = 0.
引理 4.2 lim a(r) = 0 .
ttoo
证明假设lim a(r)不存在,注意到0 < a(r) < n ,可矢口:在tToo 丁 Too
的过程中G(T)是有界振荡函数,因此存在C > 0及点列{近}和{©}满足 Ti.Tj T OO(Z, J T OO)且 \Ti - Tj\ > 50 > 0,使得 0 < °(近)卫匕)< f. S 的 距离适当大时,在"之间必存在a(r)局部极大点%使得
g(q) > (4-36)
因而,ar{ri) = 0, Q〃(丁z) < 0,代入 Euler — Lagrange 方程(2-23)有
= 2ti 孑 a(ri) + dg (4-37)
注意到q(oc) = 1,当氏适当大时,由(4-36)可得:
c
2砒%(右)+ d5) > 2riq2 •- > 0.
这与(4-37)式矛盾;因此lim a(r)存在.
丁 t0
类似于引理4.1断言的证明可知lim a(r) = 0.我们综合上面的证明,有
ttoo
(亿a, q) E A.继续定理4.1的证明.用
来表示能量密度函数.由弱下半连续性,我们有
pd pd
/ lim ini H(hk,ak,qk)dT = / H{h,a,q)dr
Jc kT°° Jc
<lim inf / H(hk,ak,qk)dr
Jc
<lim inf a加 < c < d < oo.
上 TOO
在(4-38)式中:令CTO,〃T 0可得:
POO
E(h, a,q) = / a, q)dr < T)< Eg a, q),
Jo
即耳三E{h,a,q).由此可知,(hqq)是极小值问题(4-29)的解.即它泛函
(2-21)的临界点,且满足方程(2-22)- (2-24)及边界条件(2-25).
接下来我们再通过两个引理来证明定理4.1所陈述的解的性质.
引理 4.3 解仇 a, q)满足:0 < a(r) < n, q(t) > 0, h(r) < /z0, Vr > 0 .
证明 由上面的证明过程知,解(hqq)满足:
0 < a(r) < n, q(r) > 0, h(T)< 屁,Vr > 0.
先证 0 < a(r) < n, Vr > 0 .
事实上若存在r0 > 0 ,使得a(r0) = 0,则%是g(t)的局部极小点,因此 心)=0 .对由方程(2-23)和a(r0) = /(%) = 0所组成的初值问题应用常微分方 程解的存在唯一性定理可知a(r) = 0 ,这与a(0) = n矛盾.因此a(r) > 0, Vr > 0. 同理可证,q(T)> 0, Vr > 0 .
下面证明:a(r) < n, Vr > 0.
若存在T0 > 0 ,使得a(r0) = n ,则帀是a(r)的局部极大点,因此刃(帀)=
0卫〃(%) < 0,将这些代入方程(2-23)可导致矛盾,故a(T)< n.同理可证:
< h0yr > 0.
引理4.4 a(刁在(0,oo)上严格递减,的在(0")(6 >0)上严格递增.
证明 q(门在(0")(6 > 0)上严格递增已由引理4.1给出.在此,我们只需 证明:a(r)在(0, oo)上严格递减即可.
假设加丁)不是减函数,则存在门> 0,使得/(门)> 0,所以g(q) > 0. 这样,我们可以找到两个点◎ 丁3满足门e (t2,t3),且使a(7"2)= tt(r3)和 a(丁) > a(丁2)(丁 & (◎%))成立.令

.\ a(丁2“ e
a(r)= <
、a(r),T $ (t2,t3),
则(h, a.q) e A .通过计算可知E(h)a, q) < Eg a, q),这是一个矛盾.所以a(r) 是减函数.
此外,由方程(2-23)可以看出,a(r)在任何一个区间上不可能为常数,故a(r) 在(0,oc)上是严格递减的.
综上,我们完成了定理2.1的证明.
4.2.2定理4.2的证明
下面我们将用三个引理来完成定理4.2的证明.
引理4.5关于a有如下的渐近估计:
a(r)=冗 +。(严)(丁 0), 0 < ce < 1, (4-39)
a(r) = T oo), s > 0 充分小. (4—40)
证明 先证(4-39).为此令a = n-a.取比较函数朮丁)= Cra,其中C> 0 待定,则存在T0 > 0充分小,当0 < 丁 <兀时,由方程(2-23)可得:
r(a — T])" = 2q2T(a _ 耳)+ 仏 _ 耳丫 + 2q2丁(耳—n) + 廿一丁rf
=2q2r(a 一 耳)+ (N — r)y + 2q2r(T] — n) + Ca(2 — a)Ta_1.
注意到〃(丁)取法,当T > 0适当小时,上式可化为:
r(a —耳)〃 > 2(fr{a 一 耳)+ 仏一耳); (4-41)
其中e >0适当小.对于固定的%,加%)是一个常数因此,可取〃中的常数C 充分大,使得处兀)-衍o) < 0 .另一方面,易知(5 - t/)Uo = 0.对(4—41)应用 
极大值原理可得,0 < a < “(0 < T < To),故a(r)=冗+ 0(产)(丁 T 0).
再证(4-40).取比较函数〃(丁)= Ce-凤-牛其中C > 0待定,则Vs > 0 , 存在丁£〉0充分大,当T >T£时,有
仏-")〃 =— ”) + + {2[g2 _(1_ £)2] _ "(J”
> 2(1 - s)2(a — 〃) +(a ". (4-42)
T
对固定的丁「心是一个常数,所以可取耳中的常数C充分大,使得 Q(化)—朮丁£)< 0.再由 a(oo) = 0 和耳(乂) = 0 可知,(a(r) - 77(r))|T=oo = 0.
对(4-42)应用极大值原理可得:0 <a<T](r> r£),故 a(r) = 0(带问1—可丁)(丁 T oo).
引S4.6关于q有如下的渐近估计:
q(丁) = O(Tn_e)(r T 0): e > 0 充分小, q(T)= 1 + O ( e 人痔)(丁 T oo).
证明 先证(4-43).取比较函数朮丁)= CTn~\其中C> 0待定,则
2丁 仃2
丁(a —切〃 =~Q + 审胪Q T q + 丁(『-h - l)q - rf
7 p T
—- hr-rUq-r])-(q-T]y +
- hr-t
余下的仿照定理4.5关于(4-39)式的证明,可得(4-43)式.
再证(4—44).令 Q(r) = 1 - Q(r).取比较函数 7/(r) = Ce~^^T,其中 C > 0
待定,则Vs > 0,存在r£>0充分大,当r>r£时,有


2T 护
+ r{q3 - q2 + Q —丙沪—:
> (鳥胪 + (2 — h)T + 牛)(0 — ??)(0 -
余下的仿照定理4.5关于(4-40)式的证明,可得(4-44)式.
引理4.7关于b的渐近估计为:
h(r) = O (-/(“尸+卯力)(丁 T oo), (4—45)
其中&〉0充分小.
证明 取比较函数朮丁)=①―SC£尸+約20丁 :其中。°待定,则徙> ° ,
存在T£ > 0充分大,当T > T£时,有
r(h —什)〃 = —hr + 2q2hr — -72/?(Q2 — h — l)r — 丁 rf

2/ + @ — 〃)一 @ — 〃y + (2『+ [绍)巾
-£于0(『-1)丁 ―计―丁〃〃
(h — T]) — (h —耳)/ + 2 [护一(1 — 0尸]TT]
-*720(q2 — 1)丁 +『2(1 - s)2 + 唇2鋼

余下的仿照定理4.5关于(4-40)式的证明,可得(4-45)式.
由引理4.5-4.7可知,定理4.2成立.
这样我们就得到了定理4.1和4.2的结果.
第5章 非线性几何光学中涡旋解的存在性
本节中我们对来自于非线性几何光学中Schrodinger方程的稳态的涡旋解的 存在性进行分析.
非线性介质中的光传输和黑洞中的光学涡旋形成是现代光学物理研究的一 个领域.在本文中,我们将建立一类非线性Schrodinger方程的稳态涡旋波解的 存在性定理.第一类结果就是通过约束极小化问题,我们证明了正径向对称解的 存在性,并给出了波传播常数的下界估计.其次,我们利用极小极大技巧证明了非 平凡解(鞍点解)的存在性.
在非线性光子晶格场中,物理学家通常通过光感应来创建一个孤子形式的 二维光子晶格.从理论上讲,这种沿着z轴方向的动力学系统是由下面的耦合非 线性Schrodinger方程组来描述:
(5-1)
叽+△訓=、+|姑+于X (2
其中©0为复值函数,RQ ¥0是一对耦合参数.在文献[108]中,Chen和Lei 考虑了空间光孤子,女口,方程(5-1)-(5-2)的稳态形式的空间的局部解,在传输过 程中不改变其强度,可被描述成如下空间孤子形式
0 = e1Azi/(x),妙=e1Xzv(x).
在这个假设下,非线性Schrodinger方程(5-1)-(5-2)变成如下系统
Pu
1 + |"F + |叩 + ®
]+同2 +岡2十人。
其中"卩是复值函数,入是实值常数.在周期区域上,文献[108]建立了系统
(5-4)-(5-5)的一系列解的存在性理论.
在本节中,我们想要建立方程组(5-1)-(5-2)的具有中心相位奇异性的自陷 径向对称解的存在性理论.受[109]的启发,我们可以利用两类沿着z轴传播的涡 旋(m-涡旋和71-涡旋),传播常数为e R来表示.
©(X、z) = 0(厂,0, z)="(厂)$也+0刃, (5-6)
认X、z)=讽厂,0, z) = °(厂)評"+0乞 (5—7)
r = \x\ = 龙r + 工壬、0 = arctan —,
其中厂,0为皿上的极坐标.u(r)e(r)为给出光波强度的径向分布函数,m,n e Z 是缠绕数或称为涡旋解的涡旋电荷.这表示涡旋波围绕着z轴r = 0处聚集并沿 z轴传播.
由涡旋中心的存在,或等价地,由色。在厂二0的连续性,我们假设 "(0) = °(0) = 0 •此外,光束中心的光束强度消失,这种环状的光束仍然是局部 的.换句话说,光束的强度在无穷远处衰减到零,这就允许我们从数学上给出“ 边界”条件:对远离涡旋中心适当大的距离B>0,有u(R)=认R) = 0 .再将假 设的边界条件相结合,利用(5-6)-(5-7),系统(5-1)-(5-2)变为m涡旋和n涡旋 方程组
(rujr — m ru _
u 1 , 2 , 2 = pru. 0 < r <
r 1 + uz + vz (5-8)
9
n rv
- -v . , 2 , 2 = 0® 0 <r <R,
r 1 + uz + vz (5-9)
u(0) = u(R) = 0:©(0) = v(R) = 0. (5-10)

在下面两部分中,我们将会集中研究两点边值问题(5-8)-(5-10)光学涡旋解 的存在性.在第5.1节中,我们利用带有约束极小问题的变分法来证明光学涡旋 解的存在性.同时,我们会给出0的下界在第5.2节中,我们用极大-极小方法证 明(5-8)-(5-10)的非平凡解-作为不定泛函的临界点是存在的.这样的解通常称 为相应泛函的鞍点.
5.1光学涡旋解的存在性
这一节中,我们利用约束变分法证明满足两点边值问题(5-8)-(5-10)的正径 向对称解对仏卩;0)的存在性.对/? e R,问题(5-8)-(5-10)可以看作一个非线性 特征值问题.
为得到问题(5-8)-(5-10)的解,我们写出其作用量泛函
1 IT?? 和 2 ]
1(® v) = - ru^. + rv^ H v2 H v2 + r ln(l + t? + v2) >dr,
和控制泛函:
P(u) = / \(j)\2rdrd0 = 2兀 / ru2dr = Fx > 0,
P(v) = ] \^\2rdrd0 = 2办]rv2dr = P2 > 0,
它们用来衡量涡旋波的光束强度.为了确保作用量泛函(5-11)中的所有项是有 界的,我们定义“能量”泛函
、1 fR ( 2 2 肿 2 n2 _
E(® ?;) = -/ < ru: + rv; + — + —v >dr,
并假设E(gv) < +00.引入容许集人 yl = {"(厂):v(r) E [0, R\ 绝对连续,"(0) = u(R) = 0, q(0) = o(R) = 0, E(u> q) < +00}.
(5-15)
现在我们可以来解决约束极小化问题
min {/(",Q)
其中Pi, P2是已知数:0是Lagrange乘子.
定理5・1对任意的非零整数m和弘考虑具有两类涡旋波解的非线性 Schrodinger方程的两点边值问题(5-8)-(5-10),其波沿z轴以常速0传输.
(i)若 比 < 27r|m|, P2 < 27r|n|,则问题(5-8)-(5-10)总有一对解("®;0) 满足 u(r) > 0, > 0, r e (0, R),且 0 e R.事实上假设 P(u) < 27r|m|
和P® < 2开|川之下,通过解的约束极小问题(5-16)而得到,这里0可视为

类似地,有
严 1
I rv4dr <
将(5-21), (5-22)代入(5-19),可得
1rR J rR
I{u^ v) > -(1 — s) / ru^dr + ”(1 —e) / rv^dr
2Jo 2 Jq
1rR ?/2 i
H(m2 — / ——ck + _(v?2 _
2Jq r 2
+占円+戸2).
为了在(5-23)中找到合适的s>0,我们要求
I— e〉0,
<机2 -短> 0,
n2 空-> o
II4卫£ 7 U.
显然假设F1和B满足条件
Pi < 27r|m|, < 27r|n|
是充分的.
这样,我们可以找到三个正常数C15 C2和Q仅依赖于5叫n, P15 P2 ,而
不依赖于u, v,使得
/仏 ru^dr + /
+右(Pl + P)
ru^dr + j:翻r) + C2 f ydr + C3 £ ydr 一占 E + D).
设{(姒,%)}为(5-16)的极小化序列,则由强制约束条件(5-26),有
/ r([uk]r)2dr +/ -uldr + / r([^]J2dr + / -v^dr < C, (5-27)
丿 0 丿 o r Jo Jo r
其中。>0不依赖于肚
由于",。均为实值,所以它们在分布意义下的导数满足\\ur\\ < \u\r, ||l;r|| < |儿.此外,注意到泛函/仏和F(n), P(v)是ue的偶函数,因此,我们可 以将它们改写为/(%%) = I(\uk\, |%|)且F(w)=尸(|姒I): P(%)=卩(血|).故 可假设序列{(W,W)}由非负值函数组成.进而,我们可以取这些函数在圆盘 Br = {(/ “)e R2|rr2 + “2 < R2}上径向对称且在边界dBR上消失也就是说,这 些函数仏%是闪0呼(旳)中正实值径向对称函数.
定义径向对称约化范数II • II : t R如下:
||/||2 = / 厂严 d厂+ / rf^dr.
Jo Jo

(5-29)
因此,不失一般性,可以假设{(血g)}弱收敛于 仏。)e (卬胪(巧))2伙t OQ).
应用紧嵌入W^{Br) t L叫Er)(p > 1),可知,(%%)在Lp(Br)中强收敛 于仏v).故仏v)也是径向对称且满足边界条件u(R) = 0和°(R) = 0.
下面我们仍需证明"(0) = 0和q(0) = 0.利用[109]中思想,令{(%%)} 为中的序列,其中& & 对任意的€ e {(血,s)}在
(用呼匕⑵)2中有界.利用紧嵌入(沪,2(“用)2 T (C[s,B])2,可知,(w,W)在 [e, R]上一致收敛于(®v).对任意的rx,r2 e (0, 满足心< r2,用(5-27)中C 的结果,我们有
减(厂2)-"鮒i)| < 2 / r(Hr)2dr



由于("加%) —致收敛于(®在上两式中令k T g可得
再者:再次利用(5-27)和Fatou引理,我们有
J, ru^dr < liininf J, r([izfc]r)2dr,
J, ;^2dr < liin inf inf J:
J, rv^dr < lim inf 厂([%] Jd匚
* k->-oo
J,抄习厂 < Hminf 瞪 |^dr.
特别地,从(5-27)可以看出垣2, lv2 E厶(°, R).故当 甘2 T 0, (5-32)和(5-33)
式右端均趋向于零,这蕴含着极限
rj\ 三 lim ?/2(r) , r)2 三 limi?2(r) (5—36)
『tO 『tO
都存在.由于>2 e L(0,B),扣2 e L(0,B),所以必有m = 0, % = 0.因此边界 条件"(0) = 0和°(0) = 0成立.对厂W (0,B) , u(r) > 0?v(r) > 0可由初值问题 解的唯一性得到.
下面我们作个简单总结.函数训厂)®(厂)可以从约束极小问题(5-16)的极小 化序列{(仏4)}的极限得到,并且它们属于(5-15)给出的容许集4进而,对于 所有的r e (0, B),有u{r) > 0卩(厂)> 0,且
I(®v) < lim mf I(uklvk),
Ztoo
P{u) = lim P{uk) = Pi, P(v) = lim P(g) = P2.
ZcToo A;too
则假设有一点r0 e (0, R)使得"(厂o) = 0,由心是"(厂)的极小点,则有妬(厂0)= 0. 由常微分方程初值问题解的唯一性,u(d = 0, r e 这与事实P(u) = Fx相
矛盾.所以 u(r) > 0,r e (0, R).
类似地,我们有呛)> 0,r e (0, R).
(ii)令(®o;0)为上面所得到的一对解.下面我们研究(5-8)和(5-9)中0的
值•作为准备,我们先证明






若linnnf {ra(r) |}丰0,存在旬〉0和厂o C (0,冈 使得
ru{r)\ur(r)\ > e0, r e (0,ro),
(5—39)
这导致
rr0 pr0 r0 ? 2 1 r0
+oo = / —dr < / u\ur\dr ——
7o r Jo r
这与 v) < +oo 相矛盾:故 lim inf {ra(r)|nr(r)|} = 0.
(5—40)
同理可证 liminf {rv(r)\vr(r)|} = 0.
由(5-38)可知,存在序列5 J T oo,使得
lim < rju{rj)ur{r> = 0 , lim <\ = 0.
JTOQ I J JTOO I J
(5-41)
在(5-8)和(5-9)式两端分别乘以"和。在h,R\上分部积分,并令j T oo,
再利用(5-41),我们有
0 / ru2dr Jo
* ru^dr +「—u2dr + 厂 舄2 沁」,(5-42)
Jo r 丿° 1 + " 丿
0 / rv2dr
Jo
Rrv^dr + [R-v2dr+ 厂 晳’
Jo r 丿o 1 + " + Q
(5-43)
由(5-42)和(5-43)可推知,/? < 0,否则边值问题(5-8)-(5-10)没有非平凡
解.
令(uo,vo)为绝对连续函数且满足E(uo,Vo) < 边界条件(5-10)和
P(u0) = Pi, P(vq) = P?.由于仏◎)是(5-6)的解,所以有
(5—44)
由(5-42)-(5-44)和不等式:ln(l + x}^x-^,x> 0,我们有
0 [ rtv2 + v2)dr = —21 (u^ v) + [ r In(1 + t? + v2)dr — [ 厂" 丁 °)d厂
Jo Jo Jo 1 + M + X
n —2/("o®o)+ [厂("2 + 护)(1 厂一[f("4 + q4)e— [ J" 丁77 厂 Jo Jo Jo 1 + / +沪
『R
> —^o) — / r(u4 + v4)dr.
Jo




































为了估计(5-45)右端,我们令R = 2a,并定义
0 < r < a,
£(2a — r), a < r < 2a.
通过计算可得:
「2a A_ 『2a a
戸1 = 2兀 / ru^dr = a2&2, P2 = 2tv rv^dr = -—a2b2,
Jo 3 Jo 3
-fndr = 262(2 In 2 — 1), r
r ln(l + 诟 + t?g)dr < 2aln(l + 2b2).
由(5-45),(5-47)-(5-51),我们有
丄(B + A)0 > —( 4护 + 2(m2 + ”)(252 —1)沪 + 2ahi(l + 2沪))一焉 2# 2tt I I 5
将 R = 2a 和 a2b2
=狙
47T
27T
由(5-42)、(5-43),可得
存只+尸2)0
其中”
警代入(5-52),我们可得0的下界估计
2 + (m2 + /) (2 山 2 — 3旧 + 尸2)
+Bln (1+ 塑
\ 7T
2(/ + 沪)
7VR2
[3QB + W
20tt2B2
[R厂(护+沪)
r 十丿° 1 +沪+沪
丁2+ 厂2
<~k说+沪+沪严2 +讣"
min {m2, n2}.由(5-54)我们看到,0 < 0总成立.
(5-46)
(5-47)
(5-48)
(5-49)
(5-50)
(5-51)
(5-52)
(5-53)
(5-54)
这样我们就完成了定理5.1的证明.





































5.2鞍点解的存在性
在这一节中,我们将利用变分法证明两点边值问题(5-8)-(5-10)其他稳态解 的存在性.该解不是相应的作用量泛函的极小化变量,而是其鞍点解.具体地,我 们运用山路引理中的极大极小技巧来实现它.沿着这个思路,我们首先来考察
(5-8)-(5-10)对应的作用量泛函
切仏 °) = £ f (厂必 + rv^ + —u2 + —V2 + 0厂(护 + 护)+厂 2 丿° I r r
+ ln(l + "2 + 护)厂,
其中\m\ > 1, |n| > 1.受上面讨论的启发,我们引入函数空间X的完备化空间X
x = e (C1 [0, R\ x C1 [0, R\) "(o) = u(R) = 0, o(0)
装配内积
ruru + rvrv + -uu + -vv Idr, V 仏 (u\ f) 6 X.
r r\
(5-56)
由前面的讨论可以看出,Hilbert空间X可视为嵌入到(吩珂£司)2的嵌入子空
I可,因此对任意的仏6 X,应该有"(0) = 0:°(0) = 0.
作为第一步,我们有
引理5.1由(5-55)定义的作用量泛函1佔访在空间X上满足Palais-
Smale(PS)条件.换句话说,如果{(%%)}是X中的序列,使得
(0)I畑g T Q 仏 T OO),
(力)I^Uk.Vk) T 0 伙 T OO), 则{(姒,%)}在X中存在一个强收敛的子列.
证明 显然泛函(5-55)在X中是小的.设{(%%)}为引理中所述的函 数列.则我们可以表述条件(z)和(ii)为
/0仏4)= | / {厂([讪『+厂(他)2 + 牛诚+牛朮+ 0吠 +朮)

+厂 ln(l + + 吠)>dr T q; k T g、
|/0("加4)(色训 df{ r\uk\r ur + r\v^]r vr + u +—v +0厂(蚣 u +4 u)
r{uk u +vk v)\
1 +咗+就1
S 胡|(",训|x,以 2 °,v) E X, (5-60)
其中 6 T 0 伙 T 00).在(5-60)中,令(u,v) = (uk,vk),我们有
—0 / r(^ + Vk)dr < {『([讪)2 + 伽]$ + 牛诚 + 冷说 + :扛}dr
(5-61)
另一方面,由(5-59),不失一般性,我们可以假设加%) < a + l,fc =
1,2,....因此,应用(5-61),有
2(q + 1) > / {厂(曲J2 +厂([呢J2 +牛诚+牛朮+ 0厂宓+朮)+厂Ml +诚+朮小厂



+ / {rln^ + 诚 + 诚)一:?诂:4 }"—胡|(如,%)||x
> *IK"加%)||:—胡|(血3)||X, 这里我们用到了不等式:ln(l +龙)2龙—普,龙三0.
在(5-62)中应用不等式胡|(仏4)|・ < 訓(仏4)II; +弍),我们有
2(q + 1) , g|| ("加 %) II:—朮
这表明{("加4)}在X中有界.不失一般性,假设{("/%)}在X中弱收敛于元 素(® Q)e X.显然,("初4)T仏Q):伙T OO)在厶卩(內)中强收敛:p > 1.因此,
在(5-60)中令A; T oo ;可得
n
 〜 〜?T22 〜?T2 〜 rfu "+ ° °)]
rur ur + rur ur T u u -\ v v + pr(u u +q v) T >dr
r r 1 + u2 + v2 )
0, V(7/, v) e X.


在(5-60)和(5-63)中令仏v)=(姒-u,vk-v\并将(5-63)的结果代入(5-60),
则有
厂([血 _ J2 + 厂([% _ 心)2 + -^(珈—u)2 + — - °)2 + 0厂[(血 _ 匕)2 +(5 —卩)2

S 胡 | (姒—® % —训 I x, (5—64)


Uk(uk — ") + vk(vk - u) u{uk - u) + v(vk — U)
1 + 诚+必 1 + "2 + °2
(皿—u)2 + (% — ")2
1 +诚+必
["(姒 _ 讷+ Q(4 _ 训[(护 _ 诚)+(V2 _ 诡)]
(1 +诚+ 暧)(1 +U2 + V2)
(5-65)
由(5-64)和(5-65),我们有
\\{uk — —训I; S 胡|(血一® % —训|x + ] {|0|厂[(血一"尸 + (% —。)2]
+厂
(姒一"尸+ (% —"尸 —1+诚+就—
[训珈一町+ Q(4 _ 训[(护 _诚)+ (护_诵)]
(1 +诚+诵)(1 +护+沪)
dr
S 胡|("上 - -训|x + [ {(1 + 1即厂[(血—")2 + (% —。)2]
+厂 \u{uk _ ") + v{vk -训[("2 -诚)+ (护-请]Idr, fc = 1,2, •••
(5—66)
这表明在X中(uk,vk)强收敛于(u,v).





































为了利用山路定理口役我们还需要下面的两个引理.
引理5.2对任给的B > 0,若0满足—* < /? < 0,则存在常数斤> 0和
Co > 0使得
(5-67)
证明 对任意常数> 0,取(u,v) e X使得*仏训I;=斤.在(5-55)中利
> x — x > 0,有
k 1 rR
—— _ / {0 厂(仪2 + °2) + 74n(] + + °2)}d 厂
2 2丿°
K 1 rR
3 5 {0 厂(1? + + 厂(?/2 + V2) — r{u4 + °4)}d 厂
2 2丿°
K 1 rR
5 + 5 {0厂(t? + q2) _ 厂(匕4 + °4)}d厂.
2 2丿°
(5—68)
由(5-20),我们有
[R [R fR u2
/ ru^dr < 4 / rdr / ru^dr / 一dr
Jo Jo Jo Jo r
< 二氏[Rru^dr [R—u2dr m2 Jo Jo 「
<二林,
(5—69)
[Rrv4dr < 分亡
o n
(5-70)
另外,下面的不等式是显然的
rR rR 7/2
/ ru2dr < B2 / 一dr
Jo Jo r
Jo 冗 Jo T
在(5-68)中应用不等式(5-69)-(5-72),可得
R尬2
——?/2dr, r
(5-71)
(5-72)




































而(5-73)中函数/在呦=苛磐,=斗礫匚
显然;当7?〉0时:对任意的0满足-< 0 < 0都有斤0 > 0.于是,有
5〉喺5< =冒>。,(5-74)
即(5-67)成立.
引理5.3对适当大的B > 0和任意常数尺> 0,存在元素(® v) e X使得 对任意的^>0,在(5-81)中我们可选取b适当大使得||仏宀0)||: >他.注意到 /3<0,对上面选定的b,我们可选取R > 0适当大,使得

2 + (m2 + n2)(21n2 - 1) + ;(3疋 + """打")< 0. (5-83)
6 2bz
因此,由(5—81)-(5—83)易知,我们得到对任意的ac > 0,我们可以选取仇7? > 0适 当大使得/0(如。0)< 0和||(如。0)||: >心
从引理5.3证明过程中的(5-82)的上界可以看出,作用量泛函%是不定的. 因此,利用直接变分法解决非线性特征值问题(5-8)-(5-10)是不可能的.我们现 在将用经典的山路引理来得到非平凡解对(®o;0)的存在性
定理5.2对任意的\m\ > 1, |n| > 1,存在常数Ro > 0,当K ) R,且传输 常数0满足0 > 0 > -*时,问题(5-8)-(5-10)在区间[0,B]上存在非平凡解对 仏°;0).而且,这个解对仏。;0)可作为不定泛函(5-55)的鞍点而得到的.
证明 考虑由(5-55)定义的不定泛函%.显然,/0(0,0) = 0.引理5.1告 诉我们,I®满足Palais-Smale紧性条件.引理5.2表明,存在常数® > 0,当
||仏训|;=尺时,有 切仏o)0>Co.引理5.3给出了山路定理的所有条件,因此 存在元素("o5)e X;使得 > 斤和 /0("o®o) < 0.
定义X中所有连接(0,0)和(如坯)连续路径的集合:
r = {" C C^[0,1]; X)”(0) = (0, 0), p(l) = ("o, ®o)}• (5—84)
因此,存在点tg e (0,1):使得||g(鮎)||:=氏.应用经典的山路定理[110]可得
c = inf max
日0,1]
c是泛函I®的一个非平凡临界点.即存在(® v) ex使得I畑°) = C.
北京工业大学理学博士学位论文
结论
本文对来自理论物理的几类偏微分方程进行了研究.主要考虑了一维有界区 域中辐射输运方程、弦论中的BPS方程、YMCS模型和光学涡旋模型等.利用 奇异摄动理论的渐近展开法,迭代方法,古典能量方法和变分法,研究天体物理中 辐射流体动力学模型及量子物理中涡旋方程的解适定性与渐近极限问题.由于原 方程与极限方程边界条件和初始条件的不匹配,产生了边界层、初始层以及混合 层.主要的研究思路为:首先,构造多尺度近似解,利用奇异摄动理论渐近匹配方 法求解近似解方程;其次,结合原方程、近似解方程和极限方程推导出误差方程; 最后,利用能量方法及偏微分方程中其它相关理论对误差方程进项能量估计.在 求解涡旋解的过程中,首先利用变量变换等简化模型,之后通过构造加权Sobolev 空间和变分法来寻找涡旋解的存在性.
主要结果与创新点
(1)对于一维有界区域上的辐射输运方程,首次研究其边界层和混合层的问 题.边界层的产生为收敛性的证明大大增加了难度,需要构造多尺度近似解.本 文构造了 -2到2阶的同阶近似,这样提高了近似解的精确程度.混合层问题更是 加大了近似解与混合层函数计算上的困难,克服了该困难,得到更精确的近似解, 具有较高的理论价值和现实意义.
(2)本文中所研究出现在弦理论中正反膜系统的效用理论中的BPS方程,是 一个带有非拓扑边界条件、高度复杂的非线性椭圆问题.因此并不能用正常的 Sobolev空间技巧进行求解,我们构造了加权的Sobolev空间来进行求解,对一类 问题的解决带来了创新性方法.
(3)我们对规范场中出现的描述具有磁荷和电荷的经典激发的非线性场: YMCS模型,我们将其简化为对应的非线性常微分方程的两点边值问题;之后利 用直接变分法证明了局部涡旋解的存在性,并研究了解的性质;最后,利用比较原 
理建立了解在端点处的渐近估计.通过化繁为简,得到了复杂的耦合模型的局部 解存在性.
(4)我们对非线性Schrodinger方程的稳态涡旋波,首先建立了其正径向对称 解的存在性,其次给出了鞍点解的存在性.我们利用了两类涡旋的变换将方程化 成两点边值问题,并对其进行分析.这种变换思路也是为更一般的数学模型的研 究提供了新的方法,具有较高的理论价值和现实意义.并且解决鞍点解的存在性 问题更是Schrodinger方程中研究的难点.
待研究的问题
(1)在一维有界区域中Neumann边界条件辐射输运方程边界层和混合层问 题和三维一般有界区域中Dirichlet边界条件辐射输运方程边界层和混合层问题.
(2)在Chern - Simons - Higgs方程中,讨论刻画双荷Chern-Simons涡旋解 的存在性问题.
(3)建立Einstein方程与粒子物理(如量子场论)中方程耦合系统的光滑静态 解的存在性,并对解的拓扑特性和几何性质之间的联系进行研究.
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北京工业大学理学博士学位论文
致谢
四年的博士生涯即将结束,毕业论文即将梓刻之际,回想这四年学习生活的 点点滴滴,给我提供无私帮助的人颇多.在此,衷心感谢这些年一直关心我的老 师、家人、同学和朋友.感谢你们对我的指导,教育以及陪伴让我走过这段人生 难忘的历程.
首先,非常感谢我的导师王术教授.感谢他将我纳入门墙.师恩如海,衔草难 报.王老师不仅学术造诣深厚,治学严谨,更拥有宽广博大的胸襟,乐观开朗的性 格,幽默机智的谈吐.正是在他的悉心指导、敏锐的洞察下,我才得以顺利完成 博士学位论文.王老师从论文的选题、写作的思路、核心问题的把握、处理和证 明的简化,直到最后定稿的润色都付出了大量的心血.尤其是他教会了我如何发 现问题、研究解决问题的方法与思路,为我以后的工作、学习和研究奠定了扎实 的基础.
不仅是恩师王术老师,北京工业大学应用数理学院的老师:徐文青、黎勇、 乔元华、邢秀霞、黄秋梅、冯跃红、杨蓉、刘继涛以及李晓梅、杜娜、贯爽等 老师,在四年的学习、生活中给予我极大的帮助,在此致以诚挚的感谢.
也要感谢我的硕士导师,河南大学的陈守信教授,带领我进入偏微分方程领 域,教会我如何开始科学研究.
感谢我的师兄弟姐妹,徐自立、吴忠林、吴继晖、牛海萍、邵曙光、姜利 敏、李新、郑琳、王娜、孟琳琳、王永鑫、任亚伯、刘林林、赵奕绚、姜华等 等,大家一起上课,一起讨论问题.
感谢河南大学数学与统计学院韩小森教授对论文提出了宝贵意见.感谢我的 舍友刘丹以及我的班级同学,感谢你们这么多年来对我的学业和生活上的关心和 照顾.寒窗苦读的路一个人很难走下来,因为有你们在路上的陪伴,让这条道路 洒满了灿烂的阳光.也祝福你们能够在未来的生活中能够顺利和幸福.
感谢我的家人,在我读博期间,给予我无微不至的关怀和极大地鼓励.衷心 地感谢他们的默默付出.
最后:谨向论文评审专家及答辩组专家致以深深的敬意和衷心的感谢!

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